八年级上数学第二讲----等腰三角形阶段性复习之易错题(讲义).doc

八年级数学同步讲义第二讲 等腰三角形阶段性复习之易错题
阶段易错题、典型题、综合题归类
一、常见的两解或多解问题（分类讨论的数学思想）
1、平方根、平方、绝对值都要强调“正负”
（1）的平方根是 （同时注意两步运算）
（2）25(1(，求x

2、等腰三角形
（1）等腰三角形的边（是腰还是底边的讨论）
例、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为 .

（2）等腰三角形的角（是顶角还是底角的讨论）
例1、在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是_______；
例2、已知等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角度数为 ；
例3、若△ABC是等腰三角形，且∠A＝70°，则∠B＝__________________．

（3）等腰三角形（三条边是哪两条相等，一般分三种情况讨论，当顶角是直角或钝角则只有一种可能）
A
C
B
P
·
例、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）.
在运动过程中，当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

（4）根据一条已知线段，利用分类讨论画等腰三角形
例、如图，直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定A
n
O
m
一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：
（1）符合条件的点P共有_________个；
（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出
∠OAP的所有可能的度数．

3、遇到三角形的高，在没有图形的时候，一般要分锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）讨论
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是_______.
例2、△ABC中AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________.
4、直角三角形：
（1）直角三角形的两条边（两条直角边或一直角边、一斜边）
例、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是
（2）讨论直角三角形，则要讨论哪个角是直角？

A
B
C
D
O
例、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOC＝100°，∠BOC＝α，以OB为边作等边△OBD，连结AD．当α＝__________________时，△AOD是直角三角形．

5、全等三角形对应关系不确定需讨论
例、如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=12，AC=6，射线BM⊥AB,垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过____________秒时，△DEB与△BCA全等。

二、几何问题中的常规辅助线：
（1）角平分线两侧构造全等。

第2题
例1、如图，BD是∠ABC平分线，DEAB于E，AB＝36cm，BC＝24cm，S△ABC ＝144cm2，DE长是__________。
D
C
A
E
B
（第1题）

例2、如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A、D重合，记PB＋PC＝a，AB＋AC＝b，则a、b的大小关系是 （ ）
M
E
O
A
B
P
F

A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不能确定

（2）等腰直角三角形两侧构造全等。
如图，AOOM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度（　 　）
A．4 B．4 C．6 D．BP的长度随B点的运动而变化

（3）遇中线（倍长中线法）或遇中点（延长构造全等）
例1、已知在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13

例2、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

（4）截长补短法。
例、已知：如图，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC＝AC，∠C＝120°．∠MCN＝60°，
（1）若∠MCN两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试证明：MN=OM+AN，并判断△BMN的周长是否发生变化？
O
B
A
C
M
N

B
（2）若∠MCN两边分别与OB的延长线、BA的延长线交于点M、N，连接MN．请探索MN、OM、AN的关系

A
O
备用图

三、几何问题中的方程思想：
C
（1）利用内角和180度建立方程
例1、如图△ABC中，AB=AC=BD，且AD=DC，则∠BAC＝ ___________°．

D
C
B
A
E
F
（第2题）
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BEAC，AFBC，则∠EFC＝______°．
（第1题）
A
D
C
B
第1题

（2）利用勾股定理建立方程
例1、如图，长方形的一边AD＝8，另一边AB＝4，现将它折叠，使点D与点B重合，则重合部分△BFG的面积＝ ．
例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）.
A
C
B
P
·
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

四、利用对称点研究距离和最短或周长最短

第4题
A
B
C
D
E
M
第3题
例1、如图，已知在△ABC中，AB=AC ，AD是BC边上的高，P是AB边上的一点，试在高AD上找一点E，使得△PEB的周长最短。A
P·

D
B
C
第1题图

第2题图

例2、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．
例3、如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD＋DE的最小值是 ．
例4、如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，且AD=12，F是AD上的动点，E 是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
五、面积法
例1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c和斜边上的高分别为4和2，则=_______.
例2、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．(提示：S△ABP+S△ACP=S△ABC)
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=____．点P到AB边的距离PE=______．

六、格点图中的问题
例1、如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）四边形ACBB′的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 ．

例2、（1）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形. 格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有________个．
（2）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形. 格纸中所有与该三角形全等的格点三角形共有________个．

七、质点运动中综合问题：
例1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
(1)试证明：AD∥BC．
(2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG
全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．

例2、已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．
（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝____（s）时，△PBC是直角三角形；
（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

八、全等综合题
例、在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=40,则∠DCE= ．
（2）设∠BAC=m，∠DCE=n．
①如图，当点D在线段BC的延长线上移动时，m与n之间有什么数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，m与n之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

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