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课时素养评价 五
补集及综合应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.设全集U=R,则下列集合运算结果为R的是 ( )
A.Z∪(UN) B.N∩(UN)
C.U(U∅) D.UQ
【解析】选A. Z∪(UN)=R,N∩(UN)=∅,
U(U∅)=∅,UQ表示无理数构成的集合.
2.(多选题)设全集为U,则图中的阴影部分可以表示为 ( )
A.U(A∪B) B.(UA)∩(UB)
C.U(A∩B) D.A∪(UB)
【解析】选A、B.阴影部分的元素是由不属于集合A且不属于集合B的元素构成,
即元素x∈U但x∉A,且x∉B,
即x∈,即x∈(U(A∪B)).
3.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(UB)= ( )
A.{3} B.{4} C.{3,4} D.∅
【解析】选A.由U={1,2,3,4},且U(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩(UB)={3}.
4.已知集合P={x|x>0},Q={x|-1<x<1},那么(RP) ∩Q= ( )
A.{x|x>-1} B.{x|0<x<1}
C.{x|-1<x≤0} D.{x|-1<x<1}
【解析】选C.因为P={x|x>0},
所以RP={x|x≤0},
因为Q={x|-1<x<1},
所以(RP)∩Q={x|-1<x≤0}.
【加练·固】已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为 ( )
A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}
C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3}
【解析】选D.由题意得,阴影部分所表示的集合为(UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知全集U={x∈N*|x≤9},(UA)∩B={1,6},A∩(UB)={2,3},(UA)∩(UB)= {4,5,7,8},则A=________,B=________.
【解析】因为全集U={x∈N*|x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
(UA)∩B={1,6},A∩(UB)={2,3},(UA)∩(UB)={4,5,7,8},
所以作出Venn图,得:
由Venn图得:A={2,3,9},B={1,6,9}.
答案:{2,3,9} {1,6,9}
6.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},A∪(RB)=R,则实数a的取值范围是________.
【解析】因为RB={x|x≤1或x≥2},
又A={x|x<a},观察RB,A在数轴上所表示的区间,如图所示.可知当a≥2时,A∪(RB)=R.
答案:{a|a≥2}
三、解答题(共26分)
7.(12分)设全集U={x∈Z|0≤x≤10},A={1,2,4,5,9},B={4,6,7,8,10},C= {3,5,7}.
求A∪B,(A∩B)∩C,(UA)∩(UB).
【解析】A∪B={1,2,4,5,6,7,8,9,10};
(A∩B)∩C=∅;(UA)∩(UB)={0,3}.
8.(14分)已知集合A={x|x<-3或x>2},B={x|-4≤x-2<2},
(1)求A∩B ,(RA)∪(RB ).
(2)若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A的真子集,求实数k的取值范围.
【解析】(1)因为B={x|-4≤x-2<2}={x|-2≤x<4},且A={x|x<-3或x>2},
所以RA={x|-3≤x≤2},RB={x|x<-2或x≥4},所以A∩B ={x|2<x<4},
(RA)∪(RB ) ={x|x≤2或x≥4}.
(2)当M=∅时,则2k-1>2k+1,无解,
因为集合M是集合A的真子集,
所以2k+1<-3或2k-1>2,
解得k<-2或k>,
所以实数k的取值范围是.
(15分钟·30分)
1.(4分)设U=R,N={x|-2<x<2},M={x|a-1<x<a+1},若UN是UM的真子集,则实数a的取值范围是 ( )
A.-1<a<1 B.-1≤a<1
C.-1<a≤1 D.-1≤a≤1
【解析】选D.因为UN是UM的真子集,所以M是N的真子集,所以a-1≥-2且a+1≤2,解得-1≤a≤1.
2.(4分)设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(UA)∩B={4},(UA)∩(UB)={1,5},则下列结论正确的是 ( )
A.3∉A且3∉B B.3∈A且3∉B
C.3∉A且3∈B D.3∈A且3∈B
【解析】选B.因为U={1,2,3,4,5} ,若A∩B={2},(UA)∩B={4},(UA)∩(UB)={1,5},所以画出Venn图:
所以A={2,3},B={2,4},则3∈A且3∉B.
3.(4分)设集合P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则Z(P∪Q)=________.
【解析】P={x|x=3k+1,k∈Z},表示被3除余数为1的整数构成的集合,
Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示被3除余数为2的整数构成的集合,
故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合,Z(P∪Q)={x|x=3k,k∈Z}.
答案:{x|x=3k,k∈Z}
4.(4分)下列命题之中,U为全集时,下列说法正确的是________.(填序号)
(1)若A∩B=∅,则(UA)∪(UB)=U;
(2)若A∩B=∅,则A=∅或B=∅;
(3)若A∪B=U,则(UA)∩(UB)=∅;
(4)若A∪B=∅,则A=B=∅.
【解析】(1)对,因为(UA)∪(UB)=U(A∩B),而A∩B=∅,所以(UA)∪(UB)=U(A∩B)=U.
(2)错,A∩B=∅,集合A,B不一定要为空集,只需两个集合无公共元素即可.
(3)对,因为(UA)∩(UB)=U(A∪B),而A∪B=U,所以(UA)∩(UB)=U(A∪B)=∅.
(4)对,A∪B=∅,即集合A,B均无元素.综上(1)(3)(4)对.
答案:(1)(3)(4)
5.(14分)设全集U=R,
M={m|方程mx2-x-1=0有实数根},
N={n|方程x2-x+n=0有实数根},求(UM)∩N.
【解析】对于集合M,当m=0时,x=-1,
即M={0},
当m≠0时,Δ=1+4m≥0,即m≥-,且m≠0,所以UM=,而对于集合N,
Δ=1-4n≥0,即n≤,
所以N=,
所以(UM)∩N=.
1.已知全集U,M,N是U的非空子集,且UM⊇N,则必有 ( )
A.M⊆UN B.MUN
C.UM=UN D.M⊆N
【解析】选A.依据题意画出Venn 图,
观察可知,MUN.
2.已知全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U的子集,若U(A∪B)⊆C,问这样的实数a是否存在?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)-a-1<a+2时,得a>-,
所以U(A∪B)={x|-a-1<x≤a+2}.
为使U(A∪B)⊆C成立,
所以a+2<0,解得a<-2,
或-a-1≥4,解得a≤-5,
而此时a>-,所以无解;
(2)-a-1≥a+2时,得:a≤-,
所以U(A∪B)=∅,
显然U(A∪B)⊆C成立,综上:a≤-.
【加练·固】已知全集U=R,集合A={x|2<x<9},B={x|-2≤x≤5}.
(1)求A∩B.B∪(UA).
(2)已知集合C={x|a≤x≤a+2},若C⊆(UB),求实数a的取值范围.
【解析】(1)全集U=R,集合A={x|2<x<9},B={x|-2≤x≤5}.
则UA={x|x≤2或x≥9},
那么A∩B={x|2<x≤5},
B∪(UA)={x|x≤5或x≥9}.
(2)集合C={x|a≤x≤a+2},
B={x|-2≤x≤5}.
则UB={x|x<-2或x>5},因为C⊆(UB),
所以需满足:a+2<-2或a>5,
故得:a<-4或a>5,
所以实数a的取值范围是{a|a<-4或a>5}.
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