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章末综合检测（一） 集合与常用逻辑用语
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,5}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{1,3,5} D．{1,2,3,5}
解析：选D 由题意得，A∪B＝{1,2,3}∪{1,3,5}＝{1,2，3,5}，故选D.
2．已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{－1,0,1,3,6}，则A∩B中的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由题意，因为集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}＝{奇数}，B＝{－1,0,1,3,6}，所以A∩B＝{－1,1,3}，所以A∩B中的元素个数为3.
3．设x∈R，则“x>2”是“|x|>2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A 由|x|>2得x>2或x<－2，即“x>2”是“|x|>2”充分不必要条件．故选A.
4．已知集合A＝{0,1,2,4}，集合B＝{x∈R|0<x≤4}，集合C＝A∩B，则集合C可表示为( )
A．{0,1,2,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,4} D．{x∈R|0<x≤4}
解析：选C 因为集合A中的元素为0,1,2,4，而集合B中的整数元素为1,2,3,4，所以C＝A∩B＝{1,2,4}，所以C正确．
5．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．
6．命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x3<0
B．不存在x∈R，使得x3<0
C．存在x∈R，使得x3≥0
D．存在x∈R，使得x3＜0
解析：选D “对任意x∈R”的否定为“存在x∈R”，对“x3≥0”的否定为“x3<0”．故选D.
7．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝( )
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
解析：选C 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．
8．已知非空集合M，P，则M⃘P的充要条件是( )
A．∀x∈M，x∉P
B．∀x∈P，x∈M
C．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P
D．∃x∈M，x∉P
解析：选D 由M⃘P，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．用列举法表示集合：M＝＝________________.
解析：由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
10．已知A＝{x|x≤1或x>3}，B＝{x|x>2}，则(∁RA)∪B＝________.
解析：∵∁RA＝{x|1<x≤3}，∴(∁RA)∪B＝{x|x>1}．
答案：{x|x>1}
11．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．
解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．
答案：②③④
12．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
解析：具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
答案：3
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，C＝{3,5,7,9}．
求：(1)A∩B，A∪B；
(2)A∩(∁UB)，A∪(B∩C)．
解：(1)A∩B＝{4,5}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
(2)∵B＝{4,5,6,7,8}，∴∁UB＝{1,2,3,9,10}．
∴A∩(∁UB)＝{1,2,3}，A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5,7}．
14．(10分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x－m>0}．
(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>m}，又A∩B＝∅，∴m≥3.
故实数m的取值范围为{m|m≥3}．
(2)∵A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≤－1.
故实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
15．(10分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x－3>x；
(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
16．(12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴BA.
当B＝∅时，得a＝0；
当B≠∅时，则当B＝{1}时，得a＝1；
当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合X＝{x|x>－1}，下列关系式中成立的为( )
A．0⊆X B．{0}∈X
C．∅∈X D．{0}⊆X
解析：选D 选项A，元素0与集合之间为∈或∉的关系，错误；选项B，集合{0}与集合X之间为⊆或⊇的关系，错误；选项C，∅与集合X之间为⊆或⊇的关系，错误；选项D，集合{0}是集合X的子集，故{0}⊆X正确．故选D.
2．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．∅
解析：选C ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．
3．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A |x－2|<1⇔1<x<3.因为{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件．
4．已知集合A，B是非空集合且A⊆B，则下列说法错误的是( )
A．∃x∈A，x∈B B．∀x0∈A，x0∈B
C．A∩B＝A D．A∩(∁UB)≠∅
解析：选D ∵集合A，B是非空集合且A⊆B，
∴∃x∈A，x∈B；∀x∈A，x∈B；A∩B＝A；
A∩(∁UB)＝∅.因此A、B、C正确，D错误．故选D.
5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
解析：选A 若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.故选A.
6．集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
解析：选C ∵集合A＝{x∈N|0<x<4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是23－1＝7，故选C.
7．“”是“>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A ∵“”⇒“>0”，
“>0”⇒“或”
∴“”是“>0”的充分不必要条件．故选A.
8．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 解x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.所以A＝{1,2}．又B＝{1,2,3,4}，所以满足A⊆C⊆B的集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．故D正确．
9．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－2≤n≤3}，则M∩N＝________.
解析：因为M＝{m∈Z|－3<m<2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{n∈Z|－2≤n≤3}＝{－2，－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{－2，－1,0,1}．
答案：{－2，－1,0,1}
12．某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有________人．
解析：设两门都得优的人数是x，则依题意得(23－x)＋(20－x)＋x＋6＝40，整理，得－x＋49＝40，
解得x＝9，即两门都得优的人数是9人．
答案：9
13．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有________个．
解析：U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2,1,3}时，P＝{－3，－1,0,2}；当∁UP＝{－2,1}时，P＝{－3，－1,0,2,3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个．
答案：8
14．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：
(1)“使a，b都为0”的必要条件是________．
(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________．
(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．
解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；
②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；
③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或
④ab>0⇔或则a，b都不为0.
答案：(1)①②③ (2)④ (3)①
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．
解：(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是存在量词命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是存在量词命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
16．(10分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求满足下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；
(2){9}＝A∩B.
解：(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈B且9∈A，
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
检验知a＝5或a＝－3.
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈(A∩B)，∴a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}，满足题意．
综上可知a＝－3.
17．(10分)已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－1>0}．
(1)求A∩B和A∪B；
(2)若记符号A－B＝{x|x∈A且x∉B}，在图中把表示“集合A－B”的部分用阴影涂黑，并求出A－B.
解：(1)由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}．
所以A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|x>－1}．
(2)集合A－B如图中的阴影部分所示．
由于A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，又A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，所以A－B＝{x|－1<x≤1}．
18．(10分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，
因为B⊆A，所以B＝A或BA.
当B＝A时，B＝{－4,0}，
即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，
此时满足条件，即a＝1符合题意．
当BA时，分两种情况：
若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时B＝{0}，符合题意．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．
19．(12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：(1)当a＝0时显然符合题意．
(2)当a≠0时显然方程没有零根．若方程有两异号的实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，则必须有
解得0<a≤1.
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
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