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课时10 函数的应用(二)
知识点一 指数函数模型
1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38)
A．38% B．41% C．44% D．73%
答案 B
解析 设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23,1＋p＝＝1.41，∴p＝0.41.故选B.
2．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e.∴k＝2ln 2.
∴y＝e2tln 2.∴当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1024.
知识点二 对数函数模型
3.载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋4 ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
解 (1)由题意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.
将y＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln ，
解得x≈303.3.
所以应装载大约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．
知识点三 幂函数模型
4.2017年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg N
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
解 设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，即30(1＋x)40＝60.
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，则40lg (1＋x)＝lg 2，
则lg (1＋x)＝≈0.007526，
∴1＋x≈1.017，解得x＝1.7%.
易错点 忽视指数与对数的运算方法而致错
5．如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设在经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式．
(2)经过多少分钟，桶1中的水是升？
易错分析 本题容易出现因忽视指数与对数的关系，不能充分应用指数式与对数式的互化而致误．
正解 (1)∵桶2中的水是从桶1中流出的，而开始时桶1中的水是a升，又满足y1＝ae－nt，
∴桶2中的水与t的函数关系式是y2＝a－ae－nt.
(2)∵t＝5时，y1＝y2，
∴ae－5n＝a－ae－5n，解得2e－5n＝1，n＝ln 2.
∴y1＝ae.
当y1＝时，有＝ae，解得t＝15.
∴经过15分钟桶1中的水是升．
一、选择题
1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 D
解析 由题意分析，符合对数型函数的特点．
2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天 C．19天 D．2天
答案 C
解析 当荷叶生长20天时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积的一半．
3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
答案 B
解析 由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln ＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
4．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
答案 C
解析 由题意，对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时，误差也较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，y＝300，与实际值790相差很大．综上，只有C中的函数误差最小．故选C.
5．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
答案 B
解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到水瓶高度一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
二、填空题
6．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 5
解析 设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlg＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车．
7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位： ℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝192×3＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．
8．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 (1)y＝ (2)0.6
解析 (1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，
则设函数为y＝kt(k>0)，将点(0.1,1)代入y＝kt，
可得k＝10，所以y＝10t；
将点(0.1,1)代入y＝t－a，得a＝0.1.
故所求的函数关系式为y＝
(2)由t－0.1＝0.25＝，得t＝0.6.
即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
9．某种海洋生物身体的长度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年)满足如下的函数关系：f(t)＝(设该生物出生时t＝0)．
(1)需经过多长时间，该生物的身长超过8米？
(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．
解 (1)由f(t)＝≥8，即2－t＋4≤，
解得t≥6，即该生物6年后身长超过8米．
(2)由于f(3)－f(2)＝－＝，
f(4)－f(3)＝－＝，
所以，第3年长了米，第4年长了米，因为>，所以第4年长得快．
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，该森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)从今年算起最多还能砍伐多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年该森林剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，
即(1－x)n≥，≥，
≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
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