1、课时10函数的应用(二)知识点一 指数函数模型1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：1.41，1.73，1.44，1.38)A38% B41% C44% D73%答案B解析设年平均增长率为p，由题意得(1p)623,1p1.41，p0.41.故选B.2某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个答案2ln 21024解析当t0.5时，y2，2e.k2ln 2. ye2tln 2.当t5时，ye10ln 22101024.知识
2、点二 对数函数模型3.载人飞船是通过火箭发射的已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为ykln (mx)ln (m)4 ln 2(其中k0)当燃料重量为(1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？解(1)由题意，得4kln m
3、(1)mln (m)4ln 2，解得k8，所以y8ln (mx)ln (m)4ln 28ln .(2)由已知，得Mmx479.8，则m479.8x.将y8代入(1)中所得式中，得88ln ，解得x303.3.所以应装载大约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道知识点三 幂函数模型4.2017年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？以下数据供计算时使用：真数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lg N0.00430.00650.00730.11730
4、.3010解设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1x)n60，则当n40时，y30，即30(1x)4060.(1x)402，两边取对数，则40lg (1x)lg 2，则lg (1x)0.007526，1x1.017，解得x1.7%.易错点 忽视指数与对数的运算方法而致错5如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1aent(其中n是常数，e是自然对数的底数)假设在经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等求：(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式(2)经过多少分钟，桶1中的水是升
5、？易错分析本题容易出现因忽视指数与对数的关系，不能充分应用指数式与对数式的互化而致误正解(1)桶2中的水是从桶1中流出的，而开始时桶1中的水是a升，又满足y1aent，桶2中的水与t的函数关系式是y2aaent.(2)t5时，y1y2，ae5naae5n，解得2e5n1，nln 2.y1ae.当y1时，有ae，解得t15.经过15分钟桶1中的水是升一、选择题1某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数答案D解析由题意分析，符合对数
6、型函数的特点2春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A10天 B15天 C19天 D2天答案C解析当荷叶生长20天时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积的一半3把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1()，空气的温度是T0()，经过t分钟后物体的温度T()可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体，放在10 的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)()A1.78 B2.77
7、C2.89 D4.40答案B解析由题意可知5010(9010)e0.25t，整理得e0.25t，即0.25tln ln 20.693，解得t2.77.4某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100答案C解析由题意，对于A中的函数，当x3或4时，误差较大对于B中的函数，当x4时，误差也较大对于C中的函数，当x1,2,3时，误差为0，x4时，误差为10，误差很小对于D中的函数，当x4
8、时，y300，与实际值790相差很大综上，只有C中的函数误差最小故选C.5向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是()答案B解析取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到水瓶高度一半时，体积V大于一半易知B符合题意二、填空题 6一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过_小时才能开车(精确到1小时，参考数据lg 20.30，lg 30.48)答案5解
9、析设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(10.25)n.根据题意，有0.3(10.25)n0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgn(lg 32lg 2)lg 0.3lg 31，将已知数据代入，得n(0.480.6)0.481，解得n4，故至少经过5小时才能开车7某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位： )满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时答案24解析依题意得两式相除可得e22k，故e11k，故e33kbe33keb192324，即该食
10、品在33 的保鲜时间是24小时8为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为yta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室答案(1)y(2)0.6解析(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比
11、，则设函数为ykt(k0)，将点(0.1,1)代入ykt，可得k10，所以y10t；将点(0.1,1)代入yta，得a0.1.故所求的函数关系式为y(2)由t0.10.25，得t0.6.即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室三、解答题9某种海洋生物身体的长度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年)满足如下的函数关系：f(t)(设该生物出生时t0)(1)需经过多长时间，该生物的身长超过8米？(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快解(1)由f(t)8，即2t4，解得t6，即该生物6年后身长超过8米(2)由于f(3)f(2)，f(4)f(3)，所以，
12、第3年长了米，第4年长了米，因为，所以第4年长得快10一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，该森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)从今年算起最多还能砍伐多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)设经过m年该森林剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，解得m5，故到今年为止，该森林已砍伐了5年(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还能砍伐15年- 7 -
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