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课时跟踪检测（四十六） 三角函数的应用
A级——学考水平达标练
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：选C 当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则t为 s时的电流强度为( )
A．0 B．－5
C．10 D．－10
解析：选A 由图象知A＝10，T＝2×＝，∴ω＝＝100π.
∵图象过，
∴10＝10sin，
即sin＝1且0＜φ＜，
∴＋φ＝，故φ＝.
∴I＝10sin，
当t＝时，I＝10sin＝10sin 6π＝0.
4．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )
A．y＝3sint＋12 B．y＝－3sint＋12
C．y＝3sint＋12 D．y＝3cost＋12
解析：选A 由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12，由题意知当t＝3时，y＝15.故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin＋12中，得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以该函数的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sint＋12.
5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )
A．y＝sin，t∈[0，＋∞)
B．y＝sin，t∈[0，＋∞)
C．y＝sin，t∈[0，＋∞)
D．y＝sin，t∈[0，＋∞)
解析：选C 由题意可得函数初相位为，排除B、D.又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转．即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故选C.
6．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________次．
解析：因为f＝＝＝＝50，
所以0.5 s内往复运动的次数为0.5×50＝25.
答案：25
7．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________．
解析：设h＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12，∴＝12，得ω＝＝.点(6,0)为五点作图法中的第一点，故×6＋φ＝0，得φ＝－π.∴h＝6sin＝－6sint(0≤t≤24)．
答案：h＝－6sint(0≤t≤24)
8．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，则8时的温度大约为________℃.(精确到1 ℃)
解析：由图象可得B＝20，A＝10，T＝14－6＝8，∴T＝16＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，∵图象的最低点为(6,10)，∴10sin＋20＝10，∴sin＝－1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴y＝10sin＋20，当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13.
答案：13
9．弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的
位移y(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线如图所示，则小球在开始振动(即t＝0)时离开平衡位置的位移是________cm.
解析：设曲线对应的函数解析式为f(x)＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)．
由题图可知，A＝6，T＝2＝π，则ω＝2，
从而f(x)＝6sin(2t＋φ)．
因为t＝是f(x)的第一个最大值点，
所以2×＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝6sin，
所以f(0)＝6sin＝3.
即小球开始振动时离开平衡位置的位移是3 cm.
答案：3
10.一半径为4 m的水轮(如图)，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时．
(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过4 m?
解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
依题意，得|φ|＝，易知OP在t s内所转过的角为t＝t，因此以Ox为始边，
OP为终边的角为t－，
故P点的纵坐标为4sin，故所求函数关系式为h＝4sin＋2.
(2)令4sin＋2＞4，
得sin＞，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
解得2.5＋15k＜t＜7.5＋15k(k∈Z)，
因此(7.5＋15k)－(2.5＋15k)＝5，
∴在水轮转动的一圈内，有5 s的时间点P距水面的高度超过4 m.
B级——高考水平高分练
1．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________cm(其中t∈[0,60])．
解析：如图所示，秒针每秒钟走＝(cm)，所以L＝t(cm)，所以2θ＝＝，所以θ＝，所以d＝5sin×2＝10sin.
答案：10sin
2．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
解析：∵T＝12，∴＝，
从而可设y关于t的函数为y＝sin.
又t＝0时，y＝，即sin φ＝，不妨取φ＝，
∴y＝sin.
∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数递增，
∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．
答案：[0,1]，[7,12]
3．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设种群数量y关于t的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×6＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
4．已知某港口落潮时水的深度为8.4 m，涨潮时水的深度为16 m，相邻两次涨潮发生的时间间隔为12 h．若水的深度d(m)随时间t(h)的变化曲线近似满足函数关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h，且10月10日4：00该港口发生一次涨潮．
(1)从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d(m)关于时间t(h)的函数关系式；
(2)10月10日17：00该港口的水深约为多少(保留一位小数)?
(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深不超过10.3 m?
解：(1)依题意，知T＝＝12，故ω＝，
又h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜，所以φ＝－，
所以该港口的水深d关于时间t的函数关系式为d＝3.8sin＋12.2.
(2)当t＝17时，
d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin＋12.2＝3.8×＋12.2≈15.5.
所以10月10日17：00该港口的水深约为15.5 m.
(3)令3.8sin＋12.2≤10.3，
有sin≤－，
因此2kπ＋≤t－≤2kπ＋，k∈Z，
所以12k＋8≤t≤12k＋12，k∈Z.
因为t∈[0,24]，所以k可以取0,1.
令k＝0，得t∈[8,12]；令k＝1，得t∈[20,24]．
故10月10日这一天该港口共有8小时水深不超过10.3 m.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成的角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ)．
求：(1)θ的取值范围；
(2)f(θ)的解析式；
(3)f(θ)的值域．
解：(1)观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为.
(2)如图，连接BD，在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝，则∠DBC＝，过D作地面的垂线，垂足为E，在Rt△BED中，∠DBE＝θ＋，DB＝2，
∴f(θ)＝2sin.
(3)由(2)知，当0≤θ≤时，≤θ＋≤，
∴≤sin≤1，即f(θ)的值域为[1,2]．
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