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课时素养评价 五十九
三角函数的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin 160πt+110.其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为 ( )
A.60 B.70 C.80 D.90
【解析】选C.由题意可得f===80,所以此人每分钟心跳的次数为80,故选C项.
【加练·固】
已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=
5sin,t∈[0,+∞),则这种交流电在0.5 s内往复运动________次.
【解析】据I=5sin知ω=100π,该电流的周期为T===0.02,
则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数
n===25.
答案:25
2.如图是函数y=sin x(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是 ( )
【解析】选A.当x∈时,f(x)=π-2x;当x∈时,f(x)=2x-π.
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的 ( )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
【解析】选C.当10≤t≤15时,有π<5≤≤<π,此时F(t)=50+4sin是增函数,即车流量在增加.
4.函数f(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是 ( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=
C.f(x)=xcos x
D.f(x)=x
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D项;又函数在x=0处有意义,排除B项;取x=,f=0,A项不合适,故选C项.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的运动周期为________,相位是________.
【解析】因为频率f=,所以T==,所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.
答案: 3πx-π
6.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数解析式为________.
【解析】将其看成y=Asin(ωx+φ)的图象,由图象知:A=6,T=12,所以ω==,下面确定φ.
将(6,0)看成函数图象的第一特殊点,
则×6+φ=0.所以φ=-π.
所以函数解析式为:y=6sin=
-6sinx.
答案:y=-6sinx
三、解答题(共26分)
7.(12分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-2sin,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【解析】(1)因为f(t)=10-2sin,
又0≤t<24,所以≤t+<,
-1≤sin≤1.当t=2时,
sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.
8.(14分)如图为一个缆车示意图,缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式.
(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?
【解析】(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,故B点坐标为
.
所以h=5.6+4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是,故t s转过的弧度数为.
所以h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).
到达最高点时,h=10.4 m.
由sin=1,得t-=+2kπ,k∈N,
所以tmin=30(s).
即缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.
(15分钟·30分)
1.(4分)稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:
x
1
2
3
y
10 000
9 500
?
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,所以ω可取,φ可取π,
即y=500sin+9 500.当x=3时,y=9 000.
2.(4分)已知函数y=sin ax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=loga(x+b)的图象可能是 ( )
【解析】选C.由函数y=sin ax+b的图象可得0<b<1,=>2π-π,所以0<a<1,故函数y=loga(x+b)为减函数,且图象经过点(1-b,0),结合所给选项可知选C.
【加练·固】
与图中曲线对应的函数解析式是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin |x|
C.y=-sin |x| D.y=-|sin x|
【解析】选C.注意题图所对的函数值有正有负,因此可排除选项A,D.
当x∈(0,π)时,sin |x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项B.
3.(4分)一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数解析式是s=3cos, t∈[0,
+∞),则小球摆动的周期为________.
【解析】T==.
答案:
4.(4分)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为________.
【解析】取K,L的中点N,则MN=,因此A=.
由T=2得ω=π.因为函数为偶函数,0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=cos πx,所以f=cos =.
答案:
5.(14分)已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图所示是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式.
(2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
【解析】(1)由图可知A=300,设t1=-,t2=,
则周期T=2(t2-t1)=2=.
所以ω==150π.又当t=时,I=0,
即sin=0,而|φ|<,所以φ=.
故所求的解析式为I=300sin.
(2)依题意知,周期T≤,即≤(ω>0),
所以ω≥300π>942,又ω∈N*,故所求最小正整数ω=943.
1.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是 ( )
【解析】选C.令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1,
得l=θ,sin=,所以d=2sin=2sin.
即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.
2.下表是某地某年月平均气温(华氏):
以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.
(1)用正弦曲线去拟合这些数据.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?①=cos;②=cos;
③=cos.
【解析】(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,
即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.
(3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0.代入①,得=>1≠cos,故①不适合;代入②,得=<0≠cos,故②不适合;代入③,得= >0且<1,故③适合.所以应选③.
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