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课时作业12 向量在物理中的应用举例
知识点一 向量在力学中的应用
1.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么|F1|等于( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
答案 B
解析 如图，由题意，得四边形OABC是矩形，
∵∠AOB＝60°，
∴|F1|＝|F合|cos60°＝10×＝5(N)．故选B.
2．若物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体所做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
答案 D
解析 W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1, 2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D.
3．如图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，两绳夹角为60°，则物体
所受的重力为( )
A．5 N B．5 N
C．5 N D．10 N
答案 B
解析 物体所受的重力＝|F1|cos30°＋|F2|cos30°＝5×＋5×＝5(N)．
4．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出所有正确的序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
答案 ①③
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．
∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．
5．如下图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解 如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，
因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos45°＋|Fb|cos60°＝G＝100，①
且|Fa|sin45°＝|Fb|sin60°，②
由①②解得|Fa|＝150－50，
∴A处所受力的大小为(150－50) N.
知识点二 用向量解决速度问题
6.一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行到B处时，行驶速度的大小为( )
A．v－v B．|v1|2－|v2|2
C. D.
答案 D
解析 如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得|v|2＝|v1|2－|v2|2.
7．一条两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．
答案 与水速成120°角
解析 如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．
又|v水|＝||＝1，|v船|＝||＝2，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝30°.
所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．
8．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．
解 如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行的速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形得
|v0＋v1|＝＝4.
故船实际航行的速度为4千米/时．
一、选择题
1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度的大小为40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为( )
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
答案 C
解析 设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝ (m/s)．故选C.
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
答案 B
解析 |F1|＝|F2|＝|F合|cos45°＝10，当θ＝120°时，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N，故选B.
3．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
答案 C
解析 由题意知，＝5v＝(20，－15)，设点P的坐标为(x，y)，则解得点P的坐标为(10，－5)．故选C.
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 B
解析 ∵|v|＝＝，
||＝＝3，
∴时间t＝＝3.
5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)
答案 A
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，O为坐标原点，则＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)，故选A.
二、填空题
6．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小环P，Q，P，Q用轻线相连，现用恒力F沿方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．
答案
解析 设Q受轻线的拉力为T，以Q为研究对象，由于受力平衡，故轻线与杆垂直，即轻线与OB的夹角为－θ，Tcos＝F，故|T|＝.
7．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.
答案 2
解析 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，
∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝＝2(m/s)．
8．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．
答案 0 98
解析 物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支
持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cos53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
三、解答题
9．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m．已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所做的功．
解 以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．
由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)．
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,4＋2)．
又位移s＝(4，4)，
所以F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24 (J)．
故这三个力的合力F所做的功是24 J.
10．某人在一条河中游泳，河水的流速为3 km/h，此人在静水中游泳的速度为4 km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解 (1)如图，设水流速度为，此人游泳的速度为，以，为邻边作矩形OACB，则此人实际的速度为＝＋.
由||＝3，||＝4，及勾股定理，得||＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°8′.
故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的，速度大小为5 km/h.
(2)如图，设水流速度为，实际游泳的速度为，实际前进的速度为，
则＋＝，
∴四边形OABC为平行四边形．
据题意，知⊥，||＝3，||＝4，
则在Rt△AOB中，||＝＝.
cos∠BAO＝，∴∠BAO≈41°25′.
故此人应沿与河岸的夹角为41°25′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为 km/h.
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