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课时素养评价 三十七
函数的零点与方程的解
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选A、C.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点就是(x2-1)(x+1)=0的根,显然方程的根为-1,1,故零点是-1,1.
【加练·固】函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),所以由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.
2.函数f(x)=的零点有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.因为x>2,x≠3,所以f(x)=≠0,即无零点.
3.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
【解析】选C.函数f(x)=lnx-是(1,+∞)上的连续增函数,f(2)=ln 2-3<0;
f(3)=ln 3-=ln<0,f(4)=ln 4-1>0;
f(3)f(4)<0,所以函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间为(3,4).
4.若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是
( )
A.a>1 B.a<-1
C.a<-1或a>1 D.-1<a<1
【解析】选C.函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)f(1)<0,
即(1-a)(1+a)<0,
解得a<-1或a>1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=的零点是________.
【解析】令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,所以x=1,故函数f(x)的零点为1.
答案:1
6.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则k的取值范围是________.
【解析】作出f(x)的函数图象如图所示:
因为f(x)=k有两个不同解,所以0<k<1.
答案:(0,1)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数y=f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时
f(x)=
(1)试求f(-2)的值.(2)求出f(x)的零点.
【解析】(1)由已知得f(-2)=-f(2),
2∈(0,3],f(2)=,所以f(-2)=-.
(2)由-x2+2=0,且0<x≤3,解得x=,
又f(x)为奇函数,可得另一个零点为x=-,
综上,f(x)的零点为和-.
8.(14分)已知函数f(x)=
(1)在如图的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.
(2)若f(a)=2,求实数a的值.
(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.
【解析】(1)函数图象如图,
由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).
(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.
(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.
【加练·固】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(0)及f(f(1))的值.
(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(3)若关于x的方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)根据题意当x≥0时,
f(x)=x2-2x;
则f(0)=0,f(1)=1-2=-1,
又由函数f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1)=-1,
则f(f(1))=f(-1)=-1.
(2)设x<0,则-x>0,
则有f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又由函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=x2+2x,
则当x<0时,f(x)=x2+2x.
(3)若方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点,而y=f(x)的图象如图:分析可得-1<m<0;故m的取值范围是(-1,0).
(15分钟·30分)
1.(4分)已知a是函数f(x)=ln x-lox的零点,若0<x0<a,则 ( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定
【解析】选C.根据题意,函数f(x)=ln x-lox=ln x+log2x,其定义域为(0,+∞),且为增函数,a是函数
f(x)=ln x-lox的零点,则f(a)=0,
若0<x0<a,则f(x0)<f(a)=0.
2.(4分)若方程|lg x|-+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】选B.因为|lg x|-+a=0有两个不相等的实数根⇔函数y=|lg x|与 函数 y=-a的图象有两个不同的交点,在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,如图:
要使两个函数的图象有两个交点,
必须有-a>0,解得a<.
3.(4分)设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是________.
【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-∞,0]上有且仅有1个零点.
因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].
答案:(0,1]
4.(4分)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点的个数是__________.
【解析】根据题意,函数f(x)=
当x≤0时,f(x)=2x,若函数F(x)=f(x)+x=0,即f(x)=-x,有2x=-x,
函数y=2x与y=-x的图象有1个交点,
则此时函数F(x)=f(x)+x有1个零点;
当x>0时,f(x)=-,
若函数F(x)=f(x)+x=0,
即f(x)=-x,有=x,解可得x=1,
此时函数F(x)=f(x)+x有1个零点;
综合,函数F(x)=f(x)+x的零点的个数是2.
答案:2
5.(14分)已知a∈R,函数f(x)=
(1)求f(1)的值.
(2)求函数f(x)的零点.
【解析】(1)当x>0时,
f(x)=1-,所以f(1)=1-=0.
(2)①当x>0时,令f(x)=0,即1-=0,
解得x=1>0.所以1是函数f(x)的一个零点.
②当x<0时,令f(x)=0,
即(a-1)x+1=0.(*)
当a>1时,由(*)得x=<0,
所以是函数f(x)的一个零点;
当a=1时,方程(*)无解;
当a<1时,由(*)得x=>0(舍去).
综上所述,当a>1时,函数f(x)的零点是1和;当a≤1时,函数f(x)的零点是1.
1.已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是________.
【解析】函数f(x)=
当x≥1时,方程f(x)=2,可得ln x+1=2,
解得x=e,函数有一个零点,
当x<1时,函数只有一个零点,即x2-4x+a=2,
在x<1时只有一个解.
因为y=x2-4x+a-2开口向上,对称轴为:x=2,
x<1时,函数单调递减,所以f(1)<2,
可得:-3+a<2,解得a<5.
答案:(-∞,5)
2.已知f(x)=+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由.
(2)设g(x)=f(x)-a,若函数g(x)没有零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(x)是奇函数,理由如下:
由2x-1≠0,2x≠1,得x≠0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且对于∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有
-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(x)=+=,
所以f(-x)=
==
=-=-f(x),
则f(x)是奇函数.
(2)函数g(x)=f(x)-a没有零点,
则方程f(x)=a没有实根,
对于f(x)=+,
当x>0时,2x>1,则2x-1>0,
则有+>,
则在(0,+∞)上,f(x)>,
又由函数f(x)为奇函数,
则当x<0时,f(x)<-,
故函数f(x)的值域为
∪;
则当-≤a≤时,f(x)=a无实根,
此时函数g(x)没有零点.
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