2022-2022学年高中数学课时分层作业8柯西不等式含解析新人教B版选修.doc

课时分层作业(八)柯西不等式(建议用时：45分钟)基础达标练一、选择题1若a2b21，x2y22，则axby的最大值为()A1B2C D4解析(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby.答案C2若实数a，b，c均大于0，且abc3，则的最小值为()A3B1CD解析abc1a1b1c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1a1b1c)2(121212)(a2b2c2)，a2b2c23.当且仅当abc1时等号成立，的最小值为.答案D3已知xy1，且x0，y0，那么2x23y2的最小值是()A. B.C.D.解析2x23y2(2x23y2)(xy)2，当且仅当xy，即x，y时等号成立，2x23y2的最小值为.答案B4若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A1B1C2 D2解析(aaa)(bbb)，(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，故a1b1a2b2anbn2.因此a1b1a2b2anbn的最大值为2.答案C5已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围为()A(0,1)B(1,1)C(0，1) D1,1解析设(a，b，c)，(x，y，z)|1，|1，由|，得|t|1.t的取值范围是1,1答案D二、填空题6已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析a2b3c6，1a12b13c6，(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号答案127若a(1,0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为_解析由题知，abx2z，由柯西不等式知1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2，当且仅当向量a与b共线时“”成立，516(x2z)2，4x2z4，即4ab4.故ab的最大值为4.答案48已知ab1，则a2b2_.解析由柯西不等式得(ab)2a2(1a2)(1b2)b21，当且仅当时，上式取等号，ab，a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.答案1三、解答题9已知为锐角，a，b均为正数求证：(ab)2.证明设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n| ，(ab)2.10在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形解如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l2(x)2(1x1)由柯西不等式得l2x2()2(1212) 22R4R.当且仅当，即xR时等号成立此时，宽R，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.能力提升练1函数y的最小值是()AB2C112D1解析y.根据柯西不等式，得y2(x1)22(3x)252(x1)22(3x)252(x1)(3x)(x1)(3x)2252112，当且仅当，即x时等号成立此时，ymin1.答案D2设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_.解析由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当k时取“”由k2(x2y2z2)22536，解得k，所以k.答案