2022-2022学年高中数学课时分层作业8柯西不等式含解析新人教B版选修.doc

课时分层作业(八)　柯西不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C． D．4
[解析]　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.
[答案]　C
2．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为(　　)
A．3 B．1
C． D．
[解析]　∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得
(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥3.
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，
∴的最小值为.
[答案]　D
3．已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥
＝(x＋y)2＝，
当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立，
∴2x2＋3y2的最小值为.
[答案]　B
4．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析]　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，
≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，
∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.
[答案]　C
5．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(－1,1)
C．(0，－1) D．[－1,1]
[解析]　设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．
∵|α|＝＝1，|β|＝＝1，
由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.
∴t的取值范围是[－1,1]．
[答案]　D
二、填空题
6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
[解析]　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
[答案]　12
7．若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．
[解析]　由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，
当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，
∴5×16≥(x－2z)2，
∴－4≤x－2z≤4，
即－4≤a·b≤4.
故a·b的最大值为4.
[答案]　4
8．已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.
[解析]　由柯西不等式得
(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，
当且仅当＝时，上式取等号，
∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，
于是a2＋b2＝1.
[答案]　1
三、解答题
9．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤＋.
[证明]　设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|＝ ·
＝，
∴(a＋b)2≤＋.
10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．
[解]　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)
＝2(1·x＋1×)．
由柯西不等式得
l≤2[x2＋()2](12＋12) ＝2·2R
＝4R.
当且仅当＝，即x＝R时等号成立．
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.
[能力提升练]
1．函数y＝＋的最小值是(　　)
A． B．2
C．11＋2 D．＋1
[解析]　y＝＋.
根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2
≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋]
＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋2
＝11＋2，
当且仅当＝，即x＝时等号成立．
此时，ymin＝＝＋1.
[答案]　D
2．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.
[解析]　由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，
当且仅当＝＝＝k时取“＝”．
由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝，
所以＝k＝.
[答案]