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课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．关于定积分m＝dx，下列说法正确的是( )
A．被积函数为y＝－x
B．被积函数为y＝－
C．被积函数为y＝－x＋C
D．被积函数为y＝－x3
[解析] 被积函数为y＝－.
[答案] B
2．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则－6f(x)dx＝( )
A．0 B．16
C．12 D．8
[解析] 偶函数图象关于y轴对称，
故f(x)dx＝2f(x)dx＝16，故选B.
[答案] B
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
[解析] 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
[答案] C
4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
[解析] 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．
[答案] D
5．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
[解析] 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．
[答案] A
二、填空题
6．定积分(－3)dx＝__________.
[解析] 由定积分的几何意义知，定积分
(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0
所围成图形面积的相反数．
所以(－3)dx
＝－(2×3)＝－6.
[答案] －6
7．定积分|x|dx＝__________.
[解析] 如图，|x|dx＝＋2＝.
[答案]
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
[解析] 如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.
[答案] dx
三、解答题
9．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.
[解] (1)3x3dx＝3x3dx
＝3
＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6
＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
10．利用定积分的几何意义，求dx的值．
[解] y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，
所以dx＝S半圆＝π.
[能力提升练]
1．设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )
A．S＝(x2－x)dx
B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy
D．S＝(y－)dy
[解析] 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，
选B.
[答案] B
2．已知和式S＝(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为( )
A.dx B.xpdx
C.dx D.pdx
[解析] S＝＋＋＋…＋
＝·，
∴·＝xpdx.
[答案] B
3．定积分2 019 dx＝________________.
[解析] 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝
2 018，x＝2 019与y＝2 019，y＝0所围成矩形的面积，所以2 019dx＝(2 019－2 018)×2 019＝2 019.
[答案] 2 019
4．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
[解] 将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈F·Δx＝k··(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Wn＝Wi≈··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＝.
从而得到W的近似值
W≈Wn＝.
(4)取极限
W＝Wn＝Wi
＝ ＝.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
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