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课时跟踪检测（三十四） 同角三角函数的基本关系
A级——学考水平达标练
1．已知sin α＝，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A 因为α是第二象限的角，所以cos α＝－＝－，则tan α＝＝＝－.
2．若α为第二象限角，化简tan α· ＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．
解析：选C tan α· ＝tan α· ＝·.因为α为第二象限的角，所以cos α＜0，sin α＞0，
原式＝·＝－1.
3．已知tan α＝，α∈，则cos α＝( )
A．± B.
C．－ D.
解析：选C 因为tan α＝，＝，
所以sin α＝ cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，代入得2＋cos2α＝1，
整理得cos2α＝，解得cos α＝±.
又α∈，所以cos α＜0，故cos α＝－.
4．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝( )
A．－ B．
C． D．－
解析：选D ∵sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－<0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.
5．若β∈[0,2π)，且 ＋＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵ ＋＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈.故选B.
6．已知tan α＝－，则＝________.
解析：＝＝
＝＝＝＝－.
答案：－
7．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.
解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式＝0.
答案：0
8．化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
答案：
9．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明：因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，
所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
10．已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解：因为＝－1，所以tan α＝.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
B级——高考水平高分练
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
2．已知α∈，且＝4，则＝________.
解析：∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴＝|sin α＋cos α|，
＝|sin α－cos α|.
又∵α∈，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0.
由题意，得＝4，∴sin α＝2cos α.
∴＝＝.
答案：
3．化简下列各式：
(1)；
(2) ＋ .
解：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝ ＋
＝＋.
因为α∈，
所以∈.
所以cos－sin＞0，sin＋cos＞0，
所以上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
4．已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)∵sin θ＋cos θ＝， ①
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
∵0∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝， ②
由①②得，sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝＝－.
(2)法一：由(1)知sin θ＝，cos θ＝－，
∴
＝＝.
法二：由(1)得tan θ＝－，
∴原式＝＝＝.
5．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0， ①
∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－m＜0， ②
sin αcos α＝＞0. ③
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
∵m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
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