2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测三十四同角三角函数的基本关系新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（三十四） 同角三角函数的基本关系
A级——学考水平达标练
1．已知sin α＝，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C． D．
解析：选A　因为α是第二象限的角，所以cos α＝－＝－，则tan α＝＝＝－.
2．若α为第二象限角，化简tan α· ＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．
解析：选C　tan α· ＝tan α· ＝·.因为α为第二象限的角，所以cos α＜0，sin α＞0，
原式＝·＝－1.
3．已知tan α＝，α∈，则cos α＝(　　)
A．± B.
C．－ D.
解析：选C　因为tan α＝，＝，
所以sin α＝ cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，代入得2＋cos2α＝1，
整理得cos2α＝，解得cos α＝±.
又α∈，所以cos α＜0，故cos α＝－.
4．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选D　∵sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－<0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.
5．若β∈[0,2π)，且 ＋＝sin β－cos β，则β的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵ ＋＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈.故选B.
6．已知tan α＝－，则＝________.
解析：＝＝
＝＝＝＝－.
答案：－
7．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.
解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式＝0
答案：0
8．化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
答案：
9．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明：因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，
所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
10．已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解：因为＝－1，所以tan α＝.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
B级——高考水平高分练
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C． D．
解析：选A　sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
2．已知α∈，且＝4，则＝________.
解析：∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴＝|sin α＋cos α|，
＝|sin α－cos α|.
又∵α∈，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0.
由题意，得＝4，∴sin α＝2cos α.
∴＝＝.
答案：
3．化简下列各式：
(1)；
(2) ＋ .
解：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝ ＋
＝＋.
因为α∈，
所以∈.
所以cos－sin＞0，sin＋cos＞0，
所以上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
4．已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)∵sin θ＋cos θ＝， ①
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
∵0∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝， ②
由①②得，sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝＝－.
(2)法一：由(1)知sin θ＝，cos θ＝－，
∴
＝＝.
法二：由(1)得tan θ＝－，
∴原式＝＝＝.

5．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0， ①
∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－m＜0， ②
sin αcos α＝＞0. ③
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
∵m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．

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