2013年高考文科数学重庆卷-答案.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】，
【提示】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.
【考点】集合的基本运算
2.【答案】A
【解析】根据全称命题的否定是特称命题可得:命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”.
【提示】根据全称命题“”的否定是特称命题“”，可直接写出.
【考点】全称与存在量词
3.【答案】C
【解析】要使原函数有意义，则，解得，或，所以原函数的定义域为.
【提示】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可.
【考点】函数的定义域
4.【答案】B
【解析】过圆心作直线，与圆交于点，此时最小，由圆的方程得到，半径，则.

【提示】根据题意画出相应的图形，过圆心作直线，与圆交于点，此时最小，由圆的方程找出圆心坐标与半径，求出的长，由即可求出的最小值
【考点】直线与圆的位置关系
5.【答案】C
【解析】，，不满足判断框中的条件，，，不满足判断框中的条件，，，不满足判断框中的条件，，，不满足判断框中的条件，，，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为.
【提示】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果.
【考点】程序框图
6.【答案】B
【解析】由茎叶图10个原始数据，数据落在区间内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间内的概率为.
【提示】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间内的个数，由古典概型的概率公式可得答案.
【考点】古典概型及其概率计算公式，茎叶图
7.【答案】A
【解析】
即，故原不等式的解集为，.
【提示】利用因式分解法解一元二次不等式寻求的关系后，代入求解.
8.【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以

【提示】该几何体是面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10.据此可求出该几何体的表面积.
【考点】由三视图求几何体的表面积.
9.【答案】C
【解析】
与与互为相反数，不妨令

令，即，此函数是奇函数，故
，
【提示】由题设条件可得出与互为相反数，再引入，使得，利用奇函数的性质即可解出它的值.
【考点】函数奇偶性的性质，函数的值
10.【答案】A
【解析】不妨令双曲线的方程为，由及双曲线的对称性知关于轴对称，如图所示：

又满足条件的直线只有一对，当直线与轴夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，双曲线与直线才能有交点，若双曲线的渐近线与轴夹角等于，则无交点，则不可能存在，当直线与轴夹角为时，双曲线渐近线与轴夹角小于，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与轴夹角等于，也满足题中有一对直线，但是如果大于，则有两对直线，不符合题意
，即；
，

双曲线的离心率的范围是
【提示】由双曲线的对称性知，满足题意得这一对直线也关于轴（或轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于且小于等于，即

【考点】双曲线的简单性质
二、填空题
11.【答案】
【解析】
【提示】利用求模公式直接求解
【考点】复数求模
12.【答案】
【解析】由等差数列的性质可得，解得，又可得，解之可得，同理可得，解得，故.
【提示】利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解.
【考点】等差数列的通项公式
13.【答案】
【解析】甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为
【提示】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.
【考点】排列、组合及简单计数问题，古典概型及其概率计算公式
14.【答案】4
【解析】画出矩形草图：

由于所以，在矩形中，由，所以
解得
【提示】由题意可得，故有，即=，解方程求得k的值即可.
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量的坐标运算
15.【答案】
【解析】由题意，要使对恒成立
需化简得，
或解得或
【提示】根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接运算求解.
【考点】函数恒成立问题，一元二次不等式的解法
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由题意可得数列是首项为1，公比为3的等比数列，故可得，由求和公式可得
（Ⅱ）由题意可知，设数列的公差为，可得，解得
故.
【提示】根据等比，等差数列的通项公式及前项和公式直接求解.
【考点】等比数列、等差数列的通项公式及前项和公式
17.【答案】（Ⅰ）由题意知，，，

故所求线性回归方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即变量y随x的增加而增加，故与之间是正相关.
（Ⅲ）将带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）
【提示】（Ⅰ）根据线性回归方程相关知识直接运算求解.
（Ⅱ）由于变量的值随值的增加而增加，故与之间是正相关
（Ⅲ）将带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）
【考点】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题
18.【答案】（Ⅰ）由余弦定理得，又因为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又由正弦定理及得
，
当取最大值3.
【提示】（Ⅰ）由余弦定理表示出，将依照等式变形后代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出的最大值，以及此时的值.
【考点】余弦定理，正弦定理
19.【答案】（Ⅰ）证明：因为，所以为等腰三角形.
又
因为底面
从而与平面内两条相交直线都垂直，平面
（Ⅱ）.
平面
.
由，得三棱锥的高为，故，所以
【提示】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得B，再由底面.再利用直线和平面垂直的判定定理证明平面.
（Ⅱ）先解三棱锥的底面的面积，再根据三棱锥的体积、的关系求三棱锥的高的关系式求三棱锥.
【考点】线线和线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解
20.【答案】（Ⅰ）因为蓄水池侧面的总成本为（元），底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为元.
又根据题意，
，又由，
故函数的定义域为
（Ⅱ），，令解得，（因为不在定义域内，舍去）.
当故在上为增函数；
当，，故在上为减函数.
由此可知，在处取得最大值，此时.
即当，时，该蓄水池的体积最大.
【提示】（Ⅰ）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为元，构造方程整理后，可将表示成的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域.
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点.
【考点】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用
21.【答案】（Ⅰ）由题意知点在椭圆上，则，.
，.
故该椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设，又设是椭圆上任意一点，则

设，由题意知，点是椭圆上到点的距离最小的点，因此，上式中当时取最小值，又因为，所以上式中当时取最小值，从而，且，由对称性知，
所以
当，的面积取到最大值.
此时对应的圆的圆心坐标为，半径，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为，
【提示】（Ⅰ）利用离心率及点在椭圆上求出椭圆的标准方程.
（Ⅱ）设未知数表示出的面积，利用函数求最值解决.
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，三角形的面积最值
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