2012年高考文科数学重庆卷-答案.pdf

1/11 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷（文史类）答案解析 一、选择题 1.【答案】A【解析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若 p 则 q”的逆命题是若 q 则 p。【提示】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得。【考点】四种命题。2.【答案】C【解析】不等式102xx等价于(1)(2)0 xx，所以表达式的解集为：|21xx。【提示】直接转化分式不等式为二次不等式求解即可。【考点】其他不等式的解法。3.【答案】D【解析】由圆221xy，得到圆心坐标为(0,0)，半径1r，圆心(0,0)在直线yx上，弦 AB 为圆 O 的直径，则|22ABr。【提示】由圆的方程找出圆心坐标和半径 r，根据圆心在直线yx上，得到 AB 为圆的直径，根据直径等于半径的 2 倍，可得出|AB的长。【考点】直线与圆相交的性质。4.【答案】A【解析】设53)x(1的展开式的通项公式为1rT，则51(3)rrrTCx，令3r，得3x的系数为：335(3)27 10270C 。【提示】由53)x(1的展开式的通项公式51(3)rrrTCx，令3r 即可求得3x的系数。【考点】二项式系数的性质。5.【答案】C【解析】sin47sin17 cos30cos17 sin(1730)sin17 cos30cos17 1sin302【提示】将原式分子第一项中的度数471730，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约 2/11 分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值。【考点】两角和与差的正弦函数。6.【答案】B【解析】因为Rx，向量(,1)ax，(1,2)b，且ab，所以20 x，所以(2,1)a，所以(3,1)ab，所以22|3(1)10ab，【提示】通过向量的垂直，求出向量a，推出ab，然后求出模。【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。7.【答案】B【解析】222log 3 log3log 3 3a，22229log 9log3loglog 3 313b，1ab，又30log 21c，abc。【提示】利用对数的运算性质可求得2log 3 3a，2log 3 31b，而30log 21c，从而可得答案。【考点】不等式比较大小。8.【答案】C【解析】函数()f x在2x处取得极小值，(2)0f ，且函数()f x在2x左侧附近为减函数，在2x右侧附近为增函数，即当2x时，()fx0，当2x时，()0fx，从而当2x时，()0yxfx，当20 x 时，()0yxfx，对照选项可知只有 C 符合题意。【提示】利用函数极小值的意义，可知函数()f x在2x左侧附近为减函数，在2x右侧附近为增函数，从而可判断当0 x时，函数()yxfx的函数值的正负，从而做出正确选择。【考点】利用导数研究函数的单调性。9.【答案】A【解析】设四面体的底面是 BCD，BCa，1BDCD，顶点为 A，2AD 在三角形 BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：02a（1）3/11 取 BC 中点 E，E 是中点，直角三角形 ACE 全等于直角 DCE，所以在三角形 AED 中，212aAEED，两边之和大于第三边 222 12a得02a（2）由（1）（2）得02a 故选：A。【提示】先在三角形 BCD 中求出 a 的范围，再在三角形 AED 中求出 a 的范围，二者相结合即可得到答案。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征。10.【答案】D【解析】因为集合|()0Mxf g xR，所以2()4()30g xg x，解得()3g x，或()g x 1。因为|()2Nxg xR，|()1MNx g x。即321x，解得1x。所以|1MNx x。故选：D。【提示】利用已知求出集合 M 中()g x的范围，结合集合 N，求出()g x的范围，然后求解即可。【考点】指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法。二、填空题 11.【答案】15【解析】首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 4 项和441(12)1512S。【提示】把已知的条件直接代入等比数列的前 n 项和公式，运算求得结果。【考点】等比数列的前 n 项和。4/11 12.【答案】4【解析】()()(4)f xxa x为偶函数()()fxf x对于任意的 x 都成立 即()(4)()(4)xa xxax 22(4)4(4)4xaxaxa xa(4)0ax 4a 【提示】由题意可得，()()fxf x对于任意的 x 都成立，代入整理可得(4)0ax对于任意的 x 都成立，从而可求 A【考点】函数奇偶性的性质。13.【答案】154【解析】C 为三角形的内角，1cos4C，2115sin144C，又1a，2b，由余弦定理2222coscababC得：214 14c ，解得：2c，又15sin4C，2c，2b，由正弦定理sinsinbcBC得：1542sin15sin24bCBc【提示】由 C 为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由 a 与b 的值，利用余弦定理列出关于 c 的方程，求出方程的解得到 c 的值，再由sinC，c 及 b 的值，利用正弦定理即可求出sinB的值。【考点】余弦定理，同角三角函数间的基本关系。14.【答案】3 24【解析】设1(,0)Fc，则 1F是左焦点，1PF垂直于 x 轴，P 为直线3byxa上的点 5/11 ,3bcca在双曲线22221xyab上 22322()1bcacab 2298ca 3 24cea【提示】设1(,0)Fc，利用1F是左焦点，1PF垂直于 x 轴，P 为直线3byxa上的点，可得,3bcca在双曲线22221xyab上，由此可求双曲线的离心率。【考点】直线与圆锥曲线的关系，双曲线的简单性质。15.【答案】15【解析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有33A种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有34A种排法，故所有的排法种数为3334144A A。在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为33346615A AA。故答案为：15。【提示】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有33A种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有34A种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率。【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，古典概型及其概率计算公式。三、解答题 16.【答案】解：（1）设等差数列na的公差等于 d，则由题意可得112282412adad，解得12a，2d。na的通项公式2(1)22nann。（2）解：由（1）可得na的前 n 项和为1()(1)2nnn aaSn n。6/11 若1a，ka，2kS成等比数列，21kaa2kS，242(2)(3)kkk，6k 或1k（舍去），故6k。【提示】（1）设等差数列na的公差等于 d，则由题意可得112282412adad，解得12a，2d，从而得到na的通项公式。（2）由（1）可得na的前 n 项和为1()(1)2nnn aaSn n，再由21kaa2kS，求得正整数 k 的值。【考点】等比数列的性质，等差数列的通项公式。17.【答案】（1）解：由题3()f xaxbxc，可得2()3fxaxb，又函数在点2x 处取得极值16c(2)0(2)16ffc，即1208216ababcc，化简得12048abab 解得1a，12b（2）解：由（1）知3()12f xxxc，2()3123(2)(2)fxxxx 令2()3123(2)(2)0fxxxx，解得12x ，22x 当(,2)x 时，()0fx，故()f x在(,2)上为增函数；当(2,2)x 时，()0fx，故()f x在(2,2)上为减函数；当(2,)x时，()0fx，故()f x在(2,)上为增函数；由此可知()f x在12x 处取得极大值(2)16fc，()f x在22x 处取得极小值(2)16fc，由题设条件知1628c得，12c 此时(3)921fc，(3)93fc，(2)164fc 因此()f x在 3,3上的最小值(2)4f【提示】（1）由题设3()f xaxbxc，可得2()3fxaxb，又函数在点2x 处取得极值16c，可得(2)0(2)16ffc解此方程组即可得出 a，b 的值；（2）结合（1）判断出()f x有极大值，利用()f x有极大值 28 建立方程求出参数 c 的值，进而可求出函数()f x在 3,3上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出()f x在 3,3上的最小值即可。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函数在某点取得极值的条件。18.【答案】（1）解：乙第一次投球获胜的概率等于211323，乙第二次投球获胜的概率等于221 1132 29，7/11 乙第三次投球获胜的概率等于32211132227 ，故乙获胜的概率等于11113392727。（2）解：由于投篮结束时乙只投了 2 个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了。故投篮结束时乙只投了 2 个球的概率等于2221111214322223327。【提示】（1）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求。（2）由于投篮结束时乙只投了 2 个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求。【考点】相互独立事件的概率乘法公式，概率的基本性质。19.【答案】（1）解：由题意可知()f x的周期为T，即2，解得2。因此()f x在6x 处取得最大值 2，所以2A，从而sin 216，所以2 32k，kZ，又，得6，故()f x的解析式为()2sin 26f xx；（2）解：函数4266cossin1()xg xf x 4226cossin12sin 2xx 426cossin12cos2xx 4226cossin12(2cos1)xxx 4226coscos22(2cos1)xxx 8/11 222(3cos2)(2cos1)2(2cos1)xxx 2231cos1 cos22xx 因为2cos0,1x，且21cos2x，故()g x的值域为77 51,44 2。【提示】（1）通过函数的周期求出，求出 A，利用函数经过的特殊点求出，推出()f x的解析式；（2）利用（1）推出函数4266cossin1()xxg xf x的表达式，通过2cos0,1x，且21cos2x，求出()g x的值域。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由sin()yAx的部分图象确定其解析式。20.【答案】（1）解：因为ACBC，D 为 AB 的中点，故CDAB，又直三棱柱中，1CCABC面，故1CCCD，所以异面直线1CC和 AB 的距离为：225CDBCBD。（2）解法一；由CDAB，1CDBB，故11CDA ABB平面，从而1CDDA，1CDDB，故11ADB为所求的二面角11ACDB的平面角。因1AD是1AC在面11A ABB上的射影，又已知11ABAC，由三垂线定理的逆定理得11ABAD，从而11A AB，1ADA都与1B AB互余，因此11A AB=1ADA，所以111RTA ADRTB A A，因此1111AAABADAA，得21118AAAD AB，从而22112 3ADAAAD，112 3B DAD。所以在三角形11ADB中，222111111111cos=23ADDBABADBAD DB。解法二：过 D 作11DDAA交11AB于1D，在直三棱柱中，由第一问知：1DBDCDD，两两垂直，以 D 为原点，射线1DBDCDD，分别为 X 轴，Y 轴，Z 轴建立空 9/11 间直角坐标系DXYZ。设直三棱柱的高为 h，则(2,0,0)A，1(2,0,)Ah，1(2,0,)Bh，(0,5,0)C 从而1(4,0,)ABh，1(2,3,)ACh。由11ABAC得110AB AC，即280h，因此2 2h，故1(1,0,2 2)DA ，1(2,0,2 2)DB，(0,5,0)DC。设平面1ACD的法向量为(,)nx y z，则n D C，1nDA，即5022 20yxz，取1z，得(2,0,1)n，设平面1BCD的法向量为(,)na b c，则n D C，1nDB，即5022 20bac，取1c，得(2,0,1)n，所以2 11cos,3|2121n mm nm n。所以二面角的平面角的余弦值为13。10/11 【提示】（1）先根据条件得到CDAB以及1CCCD，进而求出 C 的长即可；（2）解法一；先根据条件得到11ADB为所求的二面角11ACDB的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形11ADB中求出结论即可；解法二：过 D 作11DDAA交11AB于1D，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论。【考点】用空间向量求平面间的夹角，点、线、面间的距离计算，二面角的平面角及求法。21.【答案】（1）解：设椭圆的方程为22221(0)xyabab，2(,0)F c。12AB B是直角三角形，12|ABAB，12B AB为直角，从而2|OAOB，即2cb 222cab，225ab，224cb，255cea 在12AB B中，12OAB B，2121|22cSB BOAbb 4S，24b，22520ab 椭圆标准方程为：221204xy；（2）解：由（1）知1(2,0)B，2(2,0)B，由题意，直线 PQ 的倾斜角不为 0，故可设直线 PQ 的方程为2xmy。代入椭圆方程，消元可得22(5)4160mymy 设11P(,)x y，22(,)Q xy，12245myym，122165y ym 11/11 211(2,)B Pxy，222(2,)B Qxy 222121221664(2)(x2)5mB P B Qxy ym 22PBQB，220B P B Q 22166405mm，2m 当2m时，可化为298160yy，21212128|()4109yyyyy y 2PB Q的面积121211816|410102299SB Byy。【提示】（1）设椭圆的方程为22221(0)xyabab，2(,0)F c，利用12AB B是直角三角形，12|ABAB，可得12B AB为直角，从而2cb，利用222cab，可求255cea，又2121|422cSB BOAbb，故可求椭圆标准方程；（2）由（1）知1(2,0)B，2(2,0)B，由题意，直线 PQ 的倾斜角不为 0，故可设直线 PQ 的方程为2xmy，代入椭圆方程，消元可得22(5)4160mymy，利用韦达定理及22PBQB，利用220B P B Q 可求 m 的值，进而可求2PB Q的面积。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质。