2013年高考理科数学江西卷-答案.pdf

1/12 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C【解析】根据题意得i4z，解得4iz，故选 C.【提示】根据两集合的交集中的元素为 4，得到4iz，即可求出 z 的值.【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意，自变量满足010 xx，解得01x，即函数ln(1)yxx的定义域为0,1)，故选 B.【提示】由函数的解析式可直接得到不等式组010 xx，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项.【考点】函数的定义域及其求法 3.【答案】A【解析】由于 x，33x，66x是等比数列的前三项，故有2(33)(66)xxx，解3x，故此等比数列的前三项分别为3，6，12，故此等比数列的公比为 2，故第四项为24，故选 A.【提示】由题意可得2(33)(66)xxx解 x 的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项.【考点】等比数列的性质 4.【答案】D【解析】从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为 65，不符合条件，第二个数为 72，不符合条件，第三个数为 08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第 5 个数为 01，故选 D.【提示】从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中 08，02，14，07，01 符合条件，故可得结论.【考点】简单随机抽样 2/12 5.【答案】C【解析】设5232xx展开式中的通项为1rT，则2531 0 515()522()()rrrrrrrrTC xxC x，令1 0 50r得2r，5232xx展开式中的常数项为25(2)4 1040rC，故选 C.【提示】利用5232xx展开式中的通项公式2 5(31)5)2(rrrrrTC xx，令 x 的幂指数为 0，求得 r 的值，即可求得5232xx展开式中的常数项.【考点】二项式定理 6.【答案】B【解 析】由 于222311117|33Sx dxx，222111ln|ln2Sdxxx，222311ee|eexxSdx.且27ln2ee3，则123SSS，故选 B.【提示】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可.【考点】微积分基本定理 7.【答案】C【解析】当2i 时，2 2 15S ；当3i 时，2 3410S 不满足10s，排除选项 D；当4i 时，2 4 19S ；当5i 时，选项 A，B 中的 S 满足10s，继续循环，选项 C 中的10S 不满足10s，退出循环，输出5i，故选 C.【提示】题目给出了输出的结果5i，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即10s，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案.【考点】程序框图 3/12 8.【答案】A【解析】由题意可知直线 CE 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以4m，直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以4n，所以8mn，故选 A.【提示】判断 CE 与 EF 与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 m，n，求出mn的值.【考点】平面的基本性质及推论 9.【答案】B【解析】由21yx，得221(0)xyy.所以曲线21yx表示单位圆在 x 轴上方的部分（含与 x 轴的交点），设直线 l 的斜率为 k，要保证直线 l 与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合，则10k，直线 l 的方程为0(2)yk x，即20kxyk.则原点 O 到 l 的距离221kdk，l 被半圆截得的半弦长 为222221111kkkk.则2222222212(1)1(1)1ABOkkkkSkkk222222(+1)6(1)4(1)kkk222462(1)1kk.令211tk，则2462ABOStt，当34t，即21314k时，ABOS有最大值为12.此时由21314k，解得33k ，故答案为 B.【提示】由题意可知曲线为单位圆在 x 轴上方部分（含与 x 轴的交点），由此可得到过 C 点的直线与曲线相交时 k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值.【考点】直线与圆的位置关系，直线的斜率 10.【答案】D【解析】当0 x 时，2 33yEBBCCDBC；当x 时，此时yABBCCA2 3=3=2 33；当3x 时，3FOG，三角形 OFG 为正三角 形，此时32AMOH，在正AED中，1AEEDDA,2 3()32 12 323yEBBCCDABBCCAAEAD 2 332 12 323 ，如图.又当3x 时，图中02 312 310 32 32 323339y.故当3x 时，对应的点(,)x y在图中红色连线段的下方，对照选项，D 正确，故选 D.4/12 【提示】随着 l 从 l1平行移动到 l2，yEBBCCD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值 y，结合考查选项可得答案.【考点】函数的图象 第卷 二、填空题 11.【答案】【解析】1 cos213sin22 3sin23cos232sin2cos23222xyxxxxx 2sin 233x，2，T，故答案为.【提示】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期.【考点】三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦 12.【答案】52【解析】1e、2e为单位向量，且1e和2e的夹角等于3，1211 1 cos32e e .123aee，12be，2121112(3)(2)26235a beeeee e.a在b上的射影为52|a bb，故答案为52.【提示】根据题意求得12e e的值，从而求得a b的值，再根据a在b上的射影为|a bb，运算求得结果.5/12 【考点】平面向量数量积的运算 13.【答案】2【解析】函数()f x在(0,)内可导，且e(e)xxfx，令ext，则lnxt，故有()lnf ttt，即()lnf xxx，1()1fxx，故(1)1 12f ，故答案为 2.【提示】由题设知，可先用换元法求出()f x的解析式，再求出它的导数，从而求出(1)f.【考点】导数的运算，函数的值 14.【答案】6【解析】抛物线的焦点坐标为0,2p，准线方程为2py ，准线方程与双曲线联立可得：222133px，解得234px ，因为ABF为等边三角形，所以222|pxx，即222px，即223 34pp，解得6p，故答案为 6.【提示】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出 p 即可.【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 三、选做题 15.【答案】(1)2cossin0 (2)0,4【解析】(1)由2xtyt（t 为参数），得2yx，令c o sx，siny，代入并整理得2cossin0.即曲线 C 的极坐标方程是2cossin0，故答案为2cossin0.(2)不等式211x的解集，就是12|1 1x 的解集，也就是0|2|2x的解集，0|2|2x的几何意义是数轴上的点到 2 的距离小于等于 2 的值，所以不等式的解为04x，所以不等式的解集为0,4，故答案为0,4.【考点】绝对值不等式的解法,抛物线的参数方程，简单曲线的极坐标方程 四、解答题 16.【答案】（1）3 6/12 （2）112b【解析】（1）由已知得cos()coscos3sincos0ABABAB，即sinsin3sincos0ABAB，sin0A，sin3cos0BB，即tan3B，又 B 为三角形的内角，则3B；（2）1ac，即1ca，1cos2B，由余弦定理得：2222cosbacacB，即2222211()31 3(1)324bacacacacaaa，01a，2114b，则112b.【提示】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sin A不为 0 求出tanB的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将ac及cosB的值代入表示出2b，根据 a 的范围，利用二次函数的性质求出2b的范围，即可求出 b 的范围.【考点】余弦定理，两角和与差的余弦函数 17.【答案】（1）由222(1)()0nnSnnSnn，可得，2()(1)0nnSnnS.正项数列na，0nS，2nSnn 于是112aS，2n时，221()()112nnnaSSnnnnn，1n 时也适合 2nan（2）证明：由22222211111(2)(2)416(2)nnnnbnannnn 222222211111111116324112nTnnnn 221111115111641216464nn 【提示】（1）由222(1)()0nnSnnSnn可求nS，然后利用11aS，2n时，1nnanSS可求na；7/12 （2）由22222211111(2)(2)416(2)nnnnbnannnn，利用裂项求和可求nT，利用放缩法即可证明.【考点】数列的求和，等差数列的通项公式 18.【答案】（1）27（2）314【解析】（1）从 8 个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有2828C 种，0X 时，两向量夹角为直角共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率82(0)287P X；（2）两向量数量积的所有可能情形有2，1，0，1，2X 时，有 2 种情形；1X 时，有 8 种情形；1X 时，有 10 种情形.X 的分布列为：X 2 1 0 1 P 114 514 27 27 152232(1)0114147714EX 【提示】（1）先求出从 8 个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而0X 时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求；（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值.【考点】离散型随机变量及其分布列，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差 19.【答案】（1）在DAB中，E 为 BD 的中点，1EAEBAB，12AEBD，可得2BAD，且3ABEAEB DABDCB，EABECB，从而得到3FEDBECAEB 3EDAEAD，可得EFAD，AFFD 又PAD中，PGGD，FG 是PAD是的中位线，可得FGPA PA平面 ABCD，FG平面 ABCD，AD平面 ABCD，FGAD 又EF、FG 是平面 CFG 内的相交直线，AD平面 CFG；（2）以点 A 为原点，AB、AD、PA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系，可得(0,0,0)A，(1,0,0)B，33,022C，(0,3,0)D，30,0,2P 8/12 13,022BC，33 3,222CP，33,022CD 设平面 BCP 的法向量11(1,)my z，则111130223330222m BCym CPyz 解得133y ，123z，可得3 21,33m，设平面 DCP 的法向量22(1,)ny z，则222330223330222n CDyn CPyz 解得23y，22z，可得(1,3,2)n，321 132332cos,4|14113439m nm nmn .因此平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值等于2cos,4m n.【提示】（1）利用直角三角形的判定得到2BAD，且3ABEAEB.由DABDCB得到EABECB，从而得到3FEDFEA，所以EFAD且AFFD，结合题意得到 FG 是PAD是的中位线，可得FGPA，根据PA平面 ABCD 得FG 平面 ABCD，得到FGAD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD平面 CFG；（2）以点 A 为原点，AB、AD、PA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系，得到 A、B、C、D、P的坐标，从而得到BC、CP、CD的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 9/12 3 21,33m和(1,3,2)n 分别为平面 BCP、平面 DCP 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出m、n夹角的余弦，即可得到平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 20.【答案】（1）椭圆 C：22221(0)xyabab经过点31,2P，可得22191(0)4abab由离心率12e 得12ca，即2ac，则223bc，代入解得1c，2a，3b，故椭圆的方程为22=143xy；（2）方法一：由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为(1)yk x，代入椭圆方程22=143xy并整理得2222(43)84120kxk xk，设11(,)A x y，22(,)B x y，则2122843kxxk，212241243kx xk.在方程中，令4x 得，M 的坐标为(4,3)k，从而111321ykx，222321ykx，333124 12kkk.注意到 A，F，B 共线，则有AFBFkkk，即有121211yykxx，所以12121212121233311221111211yyyykkxxxxxx 1212122322()1xxkx xxx 代入得22221222823432214128214343kkkkkkkkkk，又312kk，所以1232kkk 故存在常数2符合题意.方法二：设000(,)(1)B x yx，则直线 FB 的方程为00(1)1yyxx，令4x，求得0034,1yMx，10/12 从而直线 PM 的斜率为00302121yxkx，联立220014311xyyyxx ，得0000583,25 25xyAxx，则直线 PA 的斜率00102252(1)yxkx，直线 PB 的斜率为020232(1)ykx，所以0000012300022523212221212(1)yxyyxkkkxxx ，故存在常数2符合题意.【提示】（1）由题意将点31,2P代入椭圆的方程，得到22191(0)4abab，再由离心率为12e，将 a，b 用 c 表示出来代入方程，解得 c，从而解得 a，b 即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线 AB 的方程为(1)yk x，代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程，设11(,)A x y，22(,)B x y，利用根与系数的关系求得2122843kxxk，212241243kx xk，再求点 M 的坐标，分别表示出 k1，k2，k3，比较123kkk即可求得参数的值；方法二：设000(,)(1)B x yx，以之表示出直线 FB 的方程为00(1)1yyxx，由此方程求得 M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得 A 的坐标，由此表示出 k1，k2，k3，比较123kkk即可求得参数的值.【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程 21.【答案】（1）证明：11112(12|)222fxaxax，11112(12|)222fxaxax，11/12 1122fxfx，()f x的图象关于直线12x 对称.（2）当102a时，有2214,2141,2()=a x xaf f xx x .()f f xx只有一个解0 x 又(0)0f，故 0 不是二阶周期点.当12a 时，有1,211,()2xxf f xxx.()f f xx有解集，12x x，故此集合中的所有点都不是二阶周期点.当12a 时，有222221441124,421412(12)4,()24414)44a xxaaa xxaaaaa xxaaaa xf xxaf，()f f xx有四个解：0，2214aa，212aa，22414aa.由(0)0f，221212aafaa，22221414aafaa，2222441414aafaa.故只有2214aa，22414aa是()f x的二阶周期点，综上所述，所求 a 的取值范围为12a.（3）由（2）得12214axa，222414axa.2x为函数()f x的最大值点，314xa，或3414axa.当314xa时，221()4(14)aS aa，求导得：221212222()14aaS aa.12/12 当1 12,22a时，()S a单调递增，当12,2a时，()S a单调递减.当3414axa时，22861()4 14aaS aa，求导得2221243()2 14aaS aa.12a，从而有2221243()2 14aaS aa.当1,2a时，()S a单调递增.【提示】（1）只要证明1122fxfx成立即可；（2）对 a 分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出 x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性.【考点】利用导数研究函数的单调性，奇偶函数图象的对称性，函数的值