2013年高考理科数学广东卷-答案.pdf

1/10 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析 一、选择题 1.【答案】D【解析】易得 2,0M ，0,2N，所以 2,0,2MN ，故选 D【提示】根据并集的定义，直接写答案即可【考点】集合的基本运算（补集）2.【答案】C【解析】是奇函数的为3yx与2sinyx，故选 C【提示】利用函数的奇偶性定义判断即可【考点】函数奇偶性的判断 3.【答案】C【解析】24i42iiz对应的点的坐标是(4,2)，故选 C【提示】求出复数，确定其在复平面的坐标【考点】复数代数式的运算，复平面 4.【答案】A【解析】33115312351010102EX ，故选 A【提示】根据离散型随机变量的分布列，求期望【考点】离散型随机变量的期望 5.【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故2222114(1122)233V，故选 B【提示】通过给出的三视图，得到四棱台，求出四棱台的体积【考点】台的体积，三视图求几何体的体积 6.【答案】D【解析】若，m，n则不一定,mnm n，也可以平行或异面，若/，m，n，则不一定mn，mn，也可以垂直或异面，若,mn m，n，则不一定，不符合面面垂直的判定定理，A，B，C 是典型错误命题，选 D【提示】在平面中，利用定理判定线线，线面，面面的平行和垂直 2/10 【考点】线线，线面，面面平行垂直的判定 7.【答案】B【解析】依题意3c，32e，所以2a，从而24a，2225bca，故选 B【提示】根据双曲线的焦点坐标，离心率大小，利用双曲线的性质，求双曲线的标准方程【考点】双曲线的性质，双曲线的标准方程 8.【答案】B【解析】特殊值法，不妨令234xyz，1w，则(,)(3,4,1)y z wS，(,)(2,3,1)x y wS，故选 B 如果利用直接法：因为(,)x y zS，(,)z w xS，所以xyz，yzx，zxy三个式子中恰有一个成立；zwx，wxz，xzw 三个式子中恰有一个成立配对后只有四种情况：第一种：成立，此时wxyz，于是(,)y z wS，(,)x y wS；第二种：成立，此时xyzw，于是(,)y z wS，(,)x y wS；第三种：成立，此时yzwx，于是(,)y z wS，(,)x y wS；第四种：成立，此时zwxy，于是(,)y z wS，(,)x y wS 综合上述四种情况，可得(,)y z wS，(,)x y wS故选 B【提示】描述法定义新集合，求集合间的基本关系【考点】集合间的关系 二、填空题 9.【答案】(2,1)【解析】易得不等式22=(2)(1)0 xxxx的解集为(2,1)【提示】直接求不等式解【考点】解一元二次不等式 10.【答案】1【解析】求导得1ykx，依题意10k ，所以1k 【提示】根据函数解析式，利用导数的几何性质，求导求斜率【考点】导数的几何意义 11.【答案】7【解析】第一次循环后：12si，；3/10 第二次循环后：23si，；第三次循环后：44si，；第四次循环后：75si，；故输出7【提示】给出框图，分析框图的逻辑关系以及计算步骤，求值【考点】循环结构的程序框图 12.【答案】20【解析】依题意12910ad，所以5711133(4)641820aaadadad 或：573832()20aaaa【提示】根据等差数列的两项和，利用等差数列的性质和通项，求目标式的值【考点】等差数列的通项和性质 13.【答案】6【解析】画出可行域如图所示，其中zxy取得最小值时的整点为0,1，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)及(4,0)共5个整点 故可确定5 16 条不同的直线 【提示】给出不等式表示的约束条件，画出可行域，找到目标函数的最值整点，求满足集合的点的个数【考点】二元线性规划求目标函数的最值 14.【答案】sin24【解析】曲线C的普通方程为222xy，其在点(1,1)处的切线l的方程为2xy，对应的极坐标方程为cossin2，即sin24【提示】先将曲线的参数方程化为标准方程，根据导数的几何意义，求出直线方程，在建立极坐标系，将直线方程化为极坐标方程 4/10 【考点】坐标系与参数方程，直线方程，导数的几何意义 15.【答案】2 3【解析】依题意易知ABCCDE，所以ABBCCDDE，又BCCD，所以212BCAB DE，从而2 3BC 【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离【考点】几何证明选讲 三、解答题 16.【答案】（）1（）1725【解析】（）2cos2cos2cos1661244f；（）22cos 23312f 2cos 2cos2sin24 因为3cos5，3,22，所以4sin5，所以24sin22sin cos25，227cos2cossin25 所以23fcos2sin2 72417252525 【提示】直接给出函数解析式，求函数值；给出角的余弦值，利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求目标函数值【考点】函数sin()yAx的性质，同角三角函数的的基本关系，二倍角 17.【答案】（）22 5/10 （）13（）1633【解析】（）样本均值为1719202125301322266；（）由（）知样本中优秀工人占的比例为2163，故推断该车间12名工人中有11243名优秀工人（）设事件A：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则1148212C C16()C33P A 【提示】（）根据实际生活的例子以及茎叶图，直接计算样本的均值；（）利用茎叶图推断优秀工人；（）直接通过茎叶图求目标事件的概率【考点】茎叶图，古典概型，排列组合及其应用 18.【答案】（）见解析（）155【解析】（）在图 1 中，易得33 22 2OCACAD，连结ODOE，在OCD中，由余弦定理可得222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知2 2AD，所以222AOODAD，所以AOOD，理可证AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE（）传统法：过O作OHCD交CD的延长线于H，连结A H，因为AO平面BCDE，所以AHCD，所以AHO为二面角ACDB的平面角 结合图 1 可知，H为AC中点，故3 22OH，从而22302A HOHOA 所以15cos5OHA HOA H，所以二面角ACDB的平面角的余弦值为155 向量法：以O点为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，则(0,0,3)A，(0,3,0)C，(1,2,0)D 6/10 所以(0,3,3)CA，(1,2,3)DA 设(,)nx y z为平面ACD的法向量，则00n CAn DA，即330230yzxyz，解得3yxzx，令1x，得(1,1,3)n 由（）知，(0,0,3)OA为平面CDB的一个法向量，所以315cos,5|35n OAn OAn OA，即二面角ACDB的平面角的余弦值为155 【提示】通过题设条件以及图形，利用线线垂直，余弦定理证明线面垂直；利用各种判定定理，找到二面角的平面角，进而求余弦值；或建立空间直角坐标系将几何问题化为代数问题，利用空间向量及其运算求值【考点】空间直角坐标系，空间向量及其运算，二面角，线线，线面垂直的判定，余弦定理 19.【答案】（）24a （）2nan（）见解析【解析】（）依题意，12122133Sa，又111Sa，所以24a；（）当2n时，32112233nnSnannn，321122(1)(1)(1)(1)33nnSnannn 两式相减得21122(1)(331)(21)33nnnananannn 整理得1(1)(1)nnnanan n，即111nnaann，又21121aa 故数列nan是首项为111a，公差为1的等差数列，所以1(1)1nannn ，所以2nan 7/10 （）当1n 时，11714a；当2n 时，12111571444aa；当3n时，211111(1)1nannnnn，此时 222121111111111111111434423341naaannn 11171714244nn 综上，对一切正整数n，有1211174naaa【提示】已知数列前n项和与1n项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公式；通过放缩法直接证明不等式的大小【考点】数列的通项，递推公式求通项，间接证明 20.【答案】（）24xcy（）00220 x xyy（）92【解析】（）依题意，设抛物线C的方程为24xcy，由|02|3 222c 结合0c，解得1c 所以抛物线C的方程为24xy（）抛物线C的方程为24xy，即214yx，求导得12yx 设11(,)A x y，22(,)B xy(其中22121244xxyy，)，则切线PAPB，的斜率分别为112x，212x，所以切线PA的方程为111()2xyyxx，即211122xxyxy，即11220 x xyy 同理可得切线PB的方程为22220 x xyy 因为切线PAPB，均过点00(,)P x y，所以1001220 x xyy，2002220 x xyy 8/10 所以11(,)x y，22(,)xy为方程00220 x xyy的两组解 所以直线AB的方程为00220 x xyy（）由抛物线定义可知1|1AFy，2|1BFy，所以121212(1)(1)()1AF BFyyy yyy 联立方程0022204x xyyxy，消去x整理得222000(2)0yyxyy 由一元二次方程根与系数的关系可得212002yyxy，2120y yy 所以221212000|()121AF BFy yyyyxy 又点00(,)P xy在直线l上，所以002xy，所以22220000001921225222yxyyyy 所以当012y 时，|AF BF取得最小值，且最小值为92【提示】利用点到直线的距离公式，求参数，解得抛物线的方程；通过对抛物线求导，以及导数的几何性质，根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值【考点】抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线的轨迹问题，直线方程，两直线的交点，导数的几何性质，抛物线的定义 21.【答案】（）见解析（）3(1)ekMkk【解析】（）当1k 时，2()(1)exf xxx，()e(1)e2e2(e2)xxxxfxxxxxx 令()0fx，得10 x，2ln2x 当x变化时，()()fxf x，的变化如下表：x(,0)0(0,ln2)ln2(ln2,)()fx 0 0 ()f x 极大值 极小值 由表可知，函数()f x的递减区间为(0,ln2)，递增区间为(,0)，(ln2,)（）()e(1)e2e2(e2)xxxxfxxkxxkxxk 9/10 令()0fx，得10 x，2ln(2)xk，令()ln(2)g kkk，则11()10kg kkk，所以()g k在1,12上递增，所以()ln2 1ln2lne0g k ，从而ln(2)kk，所以ln(2)0,kk 所以当(0,ln(2)xk时，()0fx；当(ln(2),)xk时，()0fx；所以3max(0),()max 1,(1)ekMff kkk 令3()(1)e1kh kkk，则()(e3)kh kkk，令 e3kkk，则 e3 e30kk 所以()k在1,12上递减，而13(1)e(e3)022 所以存在01,12x使得0()0 x，且当01,2kx时，()0k，当0(,1)kx时，()0k 所以()h k在01,2x上单调递增，在0(,1)x上单调递减 因为117e0228h，(1)0h，所以()0h k 在1,12上恒成立，当且仅当1k 时取得“”综上，函数()f x在0,k上的最大值3(1)ekMkk【提示】已知函数解析式，直接对函数进行求导，利用导数求函数的单调区间；通过对参数的讨论，构造新函数，利用导数求新函数单调区间，并根据单调区间求最值 10/10 【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值