2013年高考理科数学广东卷-答案.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学(理科)答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】易得，，所以，故选D．
【提示】根据并集的定义，直接写答案即可．
【考点】集合的基本运算（补集）
2.【答案】C
【解析】是奇函数的为与，故选C．
【提示】利用函数的奇偶性定义判断即可．
【考点】函数奇偶性的判断
3.【答案】C
【解析】对应的点的坐标是，故选C．
【提示】求出复数，确定其在复平面的坐标．
【考点】复数代数式的运算，复平面
4.【答案】A
【解析】，故选A．
【提示】根据离散型随机变量的分布列，求期望．
【考点】离散型随机变量的期望
5.【答案】B
【解析】由三视图可知，该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形，高为，
故，故选B．
【提示】通过给出的三视图，得到四棱台，求出四棱台的体积．
【考点】台的体积，三视图求几何体的体积
6.【答案】D
【解析】若，，则不一定也可以平行或异面，若，，，则不一定，也可以垂直或异面，若，，则不一定，不符合面面垂直的判定定理，A，B，C是典型错误命题，选D．
【提示】在平面中，利用定理判定线线，线面，面面的平行和垂直．
【考点】线线，线面，面面平行垂直的判定
7.【答案】B
【解析】依题意，，所以，
从而，，故选B．
【提示】根据双曲线的焦点坐标，离心率大小，利用双曲线的性质，求双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的性质，双曲线的标准方程
8.【答案】B
【解析】特殊值法，不妨令，，则
，，故选B．
如果利用直接法：因为，，所以①，②，
③三个式子中恰有一个成立；④，⑤，⑥
三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：
第一种：①⑤成立，此时，于是，；
第二种：①⑥成立，此时，于是，；
第三种：②④成立，此时，于是，；
第四种：③④成立，此时，于是，．
综合上述四种情况，可得，．故选B．
【提示】描述法定义新集合，求集合间的基本关系．
【考点】集合间的关系
二、填空题
9.【答案】
【解析】易得不等式的解集为．
【提示】直接求不等式解．
【考点】解一元二次不等式
10.【答案】
【解析】求导得，依题意，所以．
【提示】根据函数解析式，利用导数的几何性质，求导求斜率．
【考点】导数的几何意义
11.【答案】
【解析】第一次循环后：；
第二次循环后：；
第三次循环后：；
第四次循环后：；故输出．
【提示】给出框图，分析框图的逻辑关系以及计算步骤，求值．
【考点】循环结构的程序框图
12.【答案】
【解析】依题意，所以．
或：．
【提示】根据等差数列的两项和，利用等差数列的性质和通项，求目标式的值．
【考点】等差数列的通项和性质．
13.【答案】
【解析】画出可行域如图所示，其中取得最小值时的整点为，
取得最大值时的整点为，，，及共个整点．
故可确定条不同的直线．

【提示】给出不等式表示的约束条件，画出可行域，找到目标函数的最值整点，求满足集合的点的个数．
【考点】二元线性规划求目标函数的最值
14.【答案】
【解析】曲线的普通方程为，
其在点处的切线的方程为，
对应的极坐标方程为，
即．
【提示】先将曲线的参数方程化为标准方程，根据导数的几何意义，求出直线方程，
在建立极坐标系，将直线方程化为极坐标方程．
【考点】坐标系与参数方程，直线方程，导数的几何意义
15.【答案】
【解析】依题意易知，所以，
又，所以，
从而．
【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．
【考点】几何证明选讲
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）1
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）；
（Ⅱ）

因为，，
所以，
所以，
所以
．
【提示】直接给出函数解析式，求函数值；给出角的余弦值，利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求目标函数值．
【考点】函数的性质，同角三角函数的的基本关系，二倍角
17.【答案】（Ⅰ）22
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）样本均值为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知样本中优秀工人占的比例为，
故推断该车间名工人中有名优秀工人．
（Ⅲ）设事件：从该车间名工人中，任取人，恰有名优秀工人，
则．
【提示】（Ⅰ）根据实际生活的例子以及茎叶图，直接计算样本的均值；
（Ⅱ）利用茎叶图推断优秀工人；
（Ⅲ）直接通过茎叶图求目标事件的概率．
【考点】茎叶图，古典概型，排列组合及其应用
18.【答案】（Ⅰ）在图1中，易得
连结，在中，由余弦定理可得
由翻折不变性可知，所以，所以，
理可证，又，所以平面．
（Ⅱ）传统法：过作交的延长线于，连结，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角．
结合图1可知，为中点，故，从而
所以，所以二面角的平面角的余弦值为．

向量法：以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，解得，令，得
由（Ⅰ）知，为平面的一个法向量，
所以，即二面角的平面角的余弦值为．

【提示】通过题设条件以及图形，利用线线垂直，余弦定理证明线面垂直；利用各种判定定理，找到二面角的平面角，进而求余弦值；或建立空间直角坐标系将几何问题化为代数问题，利用空间向量及其运算求值．
【考点】空间直角坐标系，空间向量及其运算，二面角，线线，线面垂直的判定，余弦定理
19.【答案】（Ⅰ）依题意，，又，所以；
（Ⅱ）当时，，

两式相减得
整理得，即，
又
故数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以．
（Ⅲ）当时，；
当时，；
当时，，此时

综上，对一切正整数，有．
【提示】已知数列前项和与项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公式；通过放缩法直接证明不等式的大小．
【考点】数列的通项，递推公式求通项，间接证明
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为，由结合，解得．
所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）抛物线的方程为，即，求导得
设，(其中)，则切线的斜率分别为，，
所以切线的方程为，
即，即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点，
所以，
所以，为方程的两组解．
所以直线的方程为．
（Ⅲ）由抛物线定义可知，，
所以
联立方程，消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，
所以，
所以
所以当时，取得最小值，且最小值为．
【提示】利用点到直线的距离公式，求参数，解得抛物线的方程；通过对抛物线求导，以及导数的几何性质，根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．
【考点】抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线的轨迹问题，直线方程，两直线的交点，导数的几何性质，抛物线的定义
21.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，，

令，得，
当变化时，的变化如下表：

极大值

极小值

由表可知，函数的递减区间为，递增区间为，．
（Ⅱ）
令，得，，
令，
则，
所以在上递增，
所以，
从而，所以
所以当时，；
当时，；
所以
令，则，
令，则
所以在上递减，
而
所以存在使得，
且当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，，所以在上恒成立，当且仅当时取得“”．
综上，函数在上的最大值．
【提示】已知函数解析式，直接对函数进行求导，利用导数求函数的单调区间；通过对参数的讨论，构造新函数，利用导数求新函数单调区间，并根据单调区间求最值．
【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值
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