2015年高考理科数学全国卷1-答案.pdf

1/11 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 1)数学（理科）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】A【解析】由1=i1zz，得1 i(1 i)(1 i)=i1 i(1 i)(1 i)z ，故1z，故选 C【提示】先化简复数，再求模即可【考点】复数的运算 2.【答案】D【解析】原式1sin20 cos10cos20 sin10sin302ooooo，故选 D【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【考点】三角函数的运算 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22nnn N，【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【考点】命题 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可【考点】概率 5.【答案】A【解析】由题知12(3,0)(3,0)FF，220012xy，所以222120000000(3,)(3,)3310MF MFxyxyxyy ，解得03333y，故选 A 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y的取值范围【考点】双曲线 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则1162 38,43rr 所以米堆的体积为 2/11 211163203 5,4339 故堆放的米约为3201.6222,9故选 B【考点】圆锥体积【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333ADACCDACBCACACABABAC 【提示】将向量AD利用向量的三角形法则首先表示为ACCD，然后结合已知表示为AC AC，的形式【考点】向量运算 8.【答案】D【解析】由五点作图知，142,5342解得,4，所以()cos,4f xx 令2 2,4kxkkZ解得1322,44kxkkZ 故()f x的单调递减区间为132,2,44kkkZ，故选 D【提示】由周期求出，由五点法作图求出，可得()f x的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x的减区间【考点】三角函数运算 9.【答案】C【解析】执行第 1 次，0.01,1,tS10,0.5,2nm 0.5,0.25,2mSSmm1,0.50.01nSt，是，循环，执行第 2 次，0.25,0.125,2mSSmm2,0.250.01nSt，是，循环，执行第 3 次，0.125,0.0625,2mSSmm3,0.1250.01nSt，是，循环，执行第 4 次，0.0625,0.03125,2mSSmm4,0.06250.01nSt，是，循环，执行第 5 次，0.03125,0.015625,2mSSmm5,0.031250.01nSt，是，循环，执行第 6 次，0.015625,0.0078125,2mSSmm6,0.0156250.01nSt，是，循环，执行第 7 次，3/11 0.0078125,SSm2mm 0.00390625，7,0.00781250.01nSt，否，输出7,n 故选 C【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,nSt 停止由此可得结论【考点】程序框图 10.【答案】C【解析】在25()xxy的五个因式中，2 个取因式中2x剩余的 3 个因式中 1 个取x，其余因式取y，故52x y的系数为212532C C C30,故选 C【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论【考点】二项式展开式 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r，圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202rrrrrrrr，解得 r=2，故选 B【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可【考点】空间几何体的表面积 12.【答案】D【解析】设 e21,xg xxyaxa由题知存在唯一的整数0 x，使得0()g x在直线yaxa的下方 因为()e(21)xg xx，所以当12x 时，()0g x，当12x ，()0,g x 所以当12x 时，12min()2eg x 当0 x 时(0)1g，(1)e0g，直 线yaxa恒 过(1,0)且 斜 率a，故(0)1ag，且1(1)3egaa ，解得312ea，故选 D 【提示】设 e21,xg xxyaxa，问题转化为存在唯一的整数0 x使得0()g x在直线yaxa的下方，4/11 由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1ag 且1(1)3egaa ，解关于a的不等式组可得【考点】带参函数 第卷 二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以2222ln()ln()ln()ln0 xaxxaxaxxa，解得1.a 【提示】由题意可得，()()fxf x，代入根据对数的运算性质即可求解【考点】函数奇偶性 14.【答案】2232524xy【解析】设圆心为(,0)a，则半径为4a，则222(4)2,aa解得32a ，故圆的标准方程为2232524xy【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程【考点】圆的标准方程 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值 3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定yx的最大值【考点】线性规划问题 5/11 16.【答案】(62,62)【解析】如下图所示：延长BACD，交于点E，则可知在ADE中，105DAE，45ADE，30,E设12ADx，22AEx，624DEx，CDm，Q2BC，62sin1514xm 62624xm，04x，而62242ABxmx=262,2x AB的取值范围是(62,62)【提示】如图所示，延长BACD，交于点，设12ADx，22AEx，624DEx，CDm，求出62624xm，即可求出AB的取值范围【考点】平面几何问题 三解答题 17.【答案】（）21n（）11646n【解析】（）当1n时，211112434+3aaSa，因为0na，所以1a=3，当2n时，221122nnnnaaaa=14343nnSS=4na，即111()()2()nnnnnnaaaaaa，因为0na，所以1nnaa=2，所以数列na是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以na=21n；（）由（1）知，1111(21)(23)2 2123nbnnnn，所以数列nb前 n 项和为121111111=235572123nbbbnnLL=11646n【提示】（）根据数列的递推关系，利用作差法即可求na的通项公式：6/11 （）求出11nnnba a，利用裂项法即可求数列nb的前n项和【考点】数列前n项和与第n项的关系，等差数列定义与通项公式 18.【答案】（）答案见解析（）33【解析】（）连接BD，设,BDACG连接EGFGEF，在菱形ABCD中，不妨设1GB，由ABC=120，可得3AGGC 由BE 平面ABCD，ABBC，可知AEEC，又AEEC，3EGEGAC，在RtEBG中，可得2BE，故22DF 在RtFDG中，可得62FG 在直角梯形BDEF中，由2BD，2BE，22DF，可得3 22EF，222EGFGEF，EGFG，ACFGGI，EG 平面AFC，EG 平面AEC，平面AFC平面AEC（）如图，以G为坐标原点，分别以,GB GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由（）可得0,3,0)A（-，()1,0,2E，21,0.2F，(0,3,0)C，(1,3,2)AE，21,3,2CF 故3cos,3|AE CFAE CFAE CF，7/11 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为33 【提示】（）连接BD，设BDACG，连接EGEFFG，运用线面垂直的判定定理得到EG 平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（）以G为坐标原点，分别以GBGC，为x轴，y轴，GB为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，求得AEFC，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算 19.【答案】（）答案见解析（）答案见解析（）(i)66.32(ii)46.24【解析】（）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型()令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iiiiiww yydww 56368 6.8100.6.=c ydw y关于w的线性回归方程为=100.6+68yw，y关于x的回归方程为=100.6+68yx（）（i）由（）知，当49x 时，年销量y的预报值=100.6+68 49576.6y，年利润z的预报值=576.6 0.249=66.32z（ii）根据（）的结果知，年利润z的预报值=0.2(100.6+68)13.620.12zxx=x+x，当13.66.8,2x 即46.24x，z取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大【提示】（）根据散点图，即可判断出（）先建立中间量wx，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决 8/11 （）（）年宣传费49x 时，代入到回归方程，计算即可（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测 20.【答案】（）0axya或0axya（）答案见解析【解析】（）由题设可得(2,)Ma a，(2,)Na a，或(2,)Ma a，(2,)Na a 12yx，故24xy 在2xa处的导数值为a，C在(2,)a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya，故24xy 在2xa 处的导数值为a，C在(2,)a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya故所求切线方程为0axya或0axya（）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)Pb为符合题意得点，11(,)M x y，22(,)N xy，直线PMPN，的斜率分别为12kk，将ykxa代入 C 得方程整理得2440 xkxa 12124,4xxk x xa 1212121212122()()()=ybyb kx xab xxk abkkxxx xa 当ba 时，有12kk=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以(0,)Pa符合题意【提示】（）求出C在(2,)a a处的切线方程，故24xy 在2xa 处的导数值为a，即可求出方程（）存在符合条件的点(0,)Pb，11(,)M x y，22(,)N xy，直线PMPN，的斜率分别为12kk，直线方程与抛物线方程联立化为2440 xkxa，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k abkka即可证明 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系 21.【答案】（）34a （）答案见解析【解析】（）设曲线()yf x与x轴相切于点0(,0)x，则0()0f x，0()0fx，即3002010430 xaxxa，解 9/11 得013,24xa，因此，当34a 时，x轴是曲线()yf x的切线（）当(1,)x时，()ln0g xx，从而()min(),()()0h xf x g xg x，()h x在(1,)无零点 当1x 时，若54a ，则5(1)04fa，(1)min(1),(1)(1)0hfgg，故1x 是()h x的零点；若54a ，则5(1)04fa，(1)min(1),(1)(1)0hfgf，故x=1 不是()h x的零点 当(0,1)x时，()ln0g xx，所以只需考虑()f x在(0,1)的零点个数()若3a或0a，则2()3fxxa在(0,1)无零点，故()f x在(0,1)单调，而1(0)4f，5(1)4fa，所以当3a时，()f x在(0,1)有一个零点；当a0 时，()f x在(0,1)无零点()若30a，则()f x在0,3a单调递减，在,13a单调递增，故当3ax 时，()f x取的最小值，最小值为213334aaaf 若03af，即304x，()f x在(0,1)无零点 若03af，即34a ，则()f x在(0,1)有唯一零点；若03af，即334a ，由于1(0)4f，5(1)4fa，所以当5344a 时，()f x在(0,1)有两个零点；当534a 时，()f x在(0,1)有一个零点 综上，当34a 或54a 时，()h x有一个零点；当34a 或54a 时，()h x有两个零点；当5344a 时，()h x有三个零点【提示】（）设曲线()yf x与x轴相切于点0(,0)x，则0()0f x，0()0fx解出即可（）对x分类讨论：当(1,)x时，()ln0g xx，可得函数(1)min(1),(1)(1)0hfgg，即可得出零点的个数当1x 时，对a分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出 10/11 【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点 22.【答案】（）答案见解析（）60ACBo【解析】（）连接AE，由已知得，AEBCACAB，在RtAEC中，由已知得DEDC，DECDCE，连接OE，OBEOEB，90ACBABCo，90DECOEBo，90OEDo，DE是圆O的切线（）设1CEAEx，由已知得2 3AB，212BEx，由射影定理可得，2AECE BEg，2212xx，解得3x，60ACBo 【提示】（）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得90OEDo，可得DE是O的切线（）设1CEAEx，由射影定理可得关于x的方程2212xx，解方程可得x值，可得所求角度 【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理 23.【答案】()22 cos4 sin40()12【解析】（）因为cos,sinxy，1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22 cos4 sin40（）将=4代入22 cos4 sin40，得23 240，解得1=2 2，2=2，12=2MN，因为2C的半径为 1，则2C MN的面积112 1 sin45=22 o 11/11 【提示】（）由条件根据cossinxy，求得12CC，的极坐标方程（）把直线3C的极坐标方程代入22 cos4 sin40，求得12，的值，从而求出2C MN的面积【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系 24.【答案】（）22.3xx（）(2)，【解析】（）当1a 时，不等式()1f x 化为1211xx ，等价于11221xxx 或111221xxx 或11221xxx，解得223x，不等式()1f x 的解集为22.3xx（）由题设可得，12,1()312,112,xa xf xxaxaxa xa ，所以函数()f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA，(21,0)Ba，(,+1)C a a，所以ABC的面积为22(1)3a，由题设得22(1)63a，解得2a，所以a的取值范围为(2)，【提示】（）当1a 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）化简函数()f x的解析式，求得它的图像与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x的图像与x轴围成的三角形面积；再根据()f x的图像与x轴围成的三角形面积大于 6，从而求得a的取值范围 【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法