2014年高考理科数学全国卷1.pdf

数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）绝密启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 1）理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|23 0Ax xx,|22Bxx,则AB ()A.2,1 B.1,2)C.1,1 D.1,2)2.32(1i)(1 i)()A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 3.设函数()f x,()g x的定义域都为R,且()f x是奇函数,()g x是偶函数,则下列结论中正确的是 ()A.()f x()g x是偶函数 B.|()|f x()g x是奇函数 C.()f x|()|g x是奇函数 D.|()()|f x g x是奇函数 4.已知F为双曲线C：223(0)xmym m的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为 ()A.3 B.3 C.3m D.3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ()A.18 B.38 C.58 D.78 6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数()f x,则()yf x在0,的图象大致为 ()A.B.C.D.7.执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为 1,2,3.则输出的M ()A.203 B.72 C.165 D.158 8.设(0,)2,(0,)2,且1sintancos,则 ()A.32 B.32 C.22 D.22 9.不等式组1,24xyxy的解集记为D,有下面四个命题：1p：(,)x yD,22xy；2p：(,)x yD,22xy；3p：(,)x yD,23xy；4p：(,)x yD,21xy.其中的真命题是 ()A.2p,3p B.1p,2p C.1p,4p D.1p,3p 10.已知抛物线C：28yx的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4FPFQ,则|QF ()A.72 B.3 C.52 D.2 11.已知函数32()31f xaxx,若()f x存在唯一的零点0 x,且00 x,则a的取值范围是 ()A.(2,)B.(1,)C.(,2)D.(,1)12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ()A.6 2 B.6 C.4 2 D.4 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.8()()xy xy的展开式中27x y的系数为 (用数字填写答案).14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.已知A,B,C为圆O上的三点,若1()2AOABAC,则AB与AC的夹角为 .16.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,2a,且(2)(sinbAsin)()sinBcbC,则ABC面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列na的前n项和为nS,11a,0na,11nnna aS,其中为常数.（）证明：2nnaa；（）是否存在,使得na为等差数列？并说明理由.姓名_ 准考证号_-在-此-卷-上-答-题-无-效-数学试卷 第 4 页（共 6 页）数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2s；（）利用该正态分布,求(187.8212.2)PZ；（）某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用（）的结果,求EX.附：15012.2.若2(,)ZN,则()0.6826PZ,(22)PZ 0.9544.19.（本小题满分 12 分）如图,三棱柱111ABCABC中,侧面11BBCC为菱形,1ABBC.（）证明：1ACAB；（）若1ACAB,160CBB,ABBC,求二面角111AABC的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知点(0,2)A,椭圆E：22221(0,0)xyabab的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为2 33,O为坐标原点.（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程.21.（本小题满分 12 分）设 函 数1e()e lnxxbf xaxx,曲 线()yf x在 点(1,(1)f处 的 切 线 方 程 为e(1)2yx.（）求a,b；（）证明：()1f x.请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑.按所涂题号进行评分；多涂,多答,按所涂的首题进行评分；不涂,按本选考题的首题进行评分.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CBCE.（）证明：DE；（）设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明：ADE为等边三角形.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线C：22149xy,直线l：2,22,xtyt(t为参数).（）写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程；（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA的最大值与最小值.24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 若0a,0b,且11abab.（）求33ab的最小值；（）是否存在a,b,使得236ab？并说明理由.