2015年高考文科数学全国卷1-答案.pdf

1/8 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 1）数学（文科）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故8,14AB，故选 D.【考点】集合运算 2.【答案】A【解析】(3,1)ABOBOA，(7,4)BCACAB，故选 A.【考点】向量运算 3.【答案】C【解析】(1)i1 iz ，212i(12i)(i)2iiiz，故选 C.【考点】复数运算 4.【答案】C【解析】从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3，4，5，故 3个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为110，故选 C.【考点】古典概型 5.【答案】B【解析】抛物线28C yx:的焦点为(2,0)，准线方程为2x，椭圆 E 的右焦点为(2,0)，椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为22221(0)xyabab，2c，1e2ca，4a，22212bac，椭圆 E 的方程为2211612xy，将2x 代入椭圆 E 的方程解得(2,3)A，(2,3)B ，6AB，故选 B.【考点】抛物线性质；椭圆标准方程与性质 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则12 384r，163r，所以米堆的体积为21116320354339，故堆放的米约为3201.62229，故选 B.2/8 【考点】圆锥的性质，圆锥的体积公式 7.【答案】B【解 析】公 差1d，844SS，111188 74 44 322aa ，解 得112a，1011199922aad，故选 B.【考点】等差数列通项公式及前 n 项和公式 8.【答案】D【解 析】由 五 点 作 图 知，1+4253+42 ，解 得=，=4，所 以()c o s4fxx，令2 2 4kxkkZ，解得132244kxkkZ，故单调减区间为132,244kk，kZ，故选 D.【考点】三角函数图像与性质 9.【答案】C【解析】执行第 1 次，0.01t，1S，0n，10.52m，0.5SSm，0.252mm，1n，0.50.01St，是，循环，执行第 2 次，0.25SSm，0.1252mm，2n，0.250.01St，是，循环，执行第 3 次，0.125SSm，0.06252mm，3n，0.1250.01St，是，循环，执行第 4 次，0.0625SSm，0.031252mm，4n，0.06250.01St，是，循环，执行第 5 次，0.03125SSm，0.0156252mm，5n，0.031250.01St，是，循环，执行第 6 次，0.015625SSm，0.00781252mm，6n，0.0156250.01St，是，循环，执行第 7 次，0.0078125SSm，0.003906252mm，7n，0.00781250.01St，否，输出7n，故选 C.【考点】程序框图 10.【答案】A【解析】()3f a ，当1a 时，1()223af a，则121a，此等式显然不成立，当1a 时，3/8 2log(1)3a，解得7a，1 17(6)(1)224faf ，故选 A.【考点】分段函数求值，指数函数与对数函数图像与性质 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202rrrrrrrr，解得2r，故选 B.【考点】简单几何体的三视图，球的表面积公式，圆柱的侧面积公式 12.【答案】C【解析】设(,)x y是函数()yf x的图像上任意一点，它关于直线yx对称为(,)yx，由已知(,)yx在 函 数2x ay的 图 像 上，2y ax ，解 得2l o g()yxa，即2()log()f xxa，22(2)(4)log 2log 41ffaa，解得2a，故选 C.【考点】函数对称，对数的定义与运算 第卷 二、填空题 13.【答案】6【解析】12a，12nnaa，数列 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，2(12)12612nnS，264n，6n.【考点】等比数列定义与前 n 项和公式 14.【答案】1【解析】2()31fxax，(1)31fa，即切线斜率31ka，又(1)2fa，切点为(1,2)a，切线过(2,7)，273112aa，解得1a.【考点】利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数 15.【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0:30lxy，平移直线0l，当直线3:l zxy过点A时，z取最大值，由2=021=0 xyxy解得(1,1)A，3zxy 的最大值为 4.4/8 【考点】简单线性规划解法 16.【答案】12 6【解析】设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知，1|2|PFaPF，APF的周长为12|2PAPFAFPAaPFAFa，由于2aAF是定值，要使APF的周长最小，则1|PAPF最小，即P，A，1F共线，(0,6 6)A，1(3,0)F，直线1AF的方程为136 6xy，即36 6yx，代入2218yx 整理得26 6960yy，解得6 6y 或8 6y （舍），所以P点的纵坐标为2 6，11116 6 66 2 612 622APFAFFPFFSSS .【考点】双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，最值问题 三、解答题 17.【答案】（）由题设及正弦定理可得22bac.又ab，可得2bc，2ac，由余弦定理可得2221cos24acbBac；（）由（）知22bac.因为90B，由勾股定理得222acb，故222acac，得2ca，所以ABC的面积为 1.【提示】（）先由正弦定理将2sin2sinsinBAC化为变得关系，结合条件ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；5/8 （）由（）知22bac，根据勾股定理即可求出c，从而求出ABC的面积.【考点】正弦定理，余弦定理，运算求解能力 18.【答案】（）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED，又AC 平面AEC，所以平面AEC平面BED.（）设ABx，在菱形ABCD中，由120ABC，可得32AGGCx，2xGBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得32EGx，由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得22BEx，由已知得，三棱锥EACD的体积3116632243E ACDVAC GD BEx，故2x，从而可得6AEECED，所以EAC的面积为 3，EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥EACD的侧面积为3+2 5.【提示】（）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直判定定理知AEC平面BED；（）设ABx，通过解直角三角形将AG，GC，GB，GD用x表示出来，在RtAEC中，用x表示EB，根据条件三菱锥EACD的体积为63求出x，即可求出三菱锥EACD的侧面积.【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算 19.【答案】（）由散点图可判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（）令wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，由于8iii 182ii 1()()108.86816()ww yydww，56368 6.8100.6cydw，y关于w的线性回归方程为100.668yx.（）（）由（）知，当49x 时，年销售量y的预报值100.668 49576.6y，576.6 0.24966.32z；（）根据（）的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)13.620.12zxxxx ，当13.66.82x，即46.24x 时，z取得最大值，故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.【提示】（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（）（）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为 6/8 0.2zyx即可年利润z的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.【考点】非线性拟合，线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测 20.【答案】（）由题设，可知直线 l 的方程为1ykx，因为 l 与 C 交于两点，所以2|23 1|11kk，解得474733k，所以 k 的取值范围是47 47,33.（）设11(,)M x y，22(,)N xy，将1ykx代入方程22(2)(3)1xy，整理得22(1)4(1)70kxkx，所以1224(1)1kxxk，12271x xk.21212121224(1)y(1)()181kkOM ONx xykx xk xxk，由题设可得24(1)8=121kkk，解得=1k，所以 l 的方程为1ykx，故圆心在直线 l 上，所以|2MN.【提示】（）设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范围；（）设11(,)M x y，22(,)N xy，将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将12x x，12y y用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON 列出关于 k 方程，解出 k，即可求出|MN.【考点】直线与圆的位置关系 21.【答案】（）()f x的定义域为(0,)，2()=2(0)xafxexx.当0a时，()0fx，()fx没有零点，当0a时，因为2ex单调递增，ax单调递增，所以()fx在(0,)单调递增，又()0fa，当 b 满足04ab且14b时，(b)0f，故当0a时，()fx存在唯一零点；（）由（），可设()fx在(0,)的唯一零点为0 x，当0(0,)xx时，()0fx，当0(,)xx时，()0fx，故()f x在0(0,)x单调递减，在0(,)x单调递增，所以当0 xx时，()f x取得最小值，最小值为0()f x，由于0202=0 xaex，所以00022()=2ln2ln2af xaxaaaxaa，故当0a时，2()2lnf xaaa.【提示】（）先求出导函数，分0a与0a考虑()fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；7/8 （）由（）可设()fx在(0,)的唯一零点为0 x，根据()fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lnaaa，即证明了所证不等式.【考点】常见函数导数及导数运算法则，函数的零点，利用导数研究函数图像与性质，利用导数证明不等式 22.【答案】（）连结AE，由已知得，AEBC，ACAB，在RtAEC中，由已知得DEDC，DECDCE，连结OE，OBEOEB，90ACBABC，90DECOEB，90OED，DE是圆O的切线.（）设1CE，AEx，由已知得2 3AB，212BEx，由射影定理可得，2AECE BE，2212xx，解得3x，60ACB.【提示】（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知DEDC，OEOB，利用等量代换可证90DECOEB，即90OED，所以DE是圆O的切线；（）设1CE，由3OACE得，2 3AB，设AEx，由勾股定理得212BEx，由直角三角形射影定理可得2AECE BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出ACB的大小.【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理 23.【答案】（）因为cosx，siny，1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22 cos4 sin40；（）将=4代入22 cos4 sin40，得23 240，解 得12 2，22，12|2MN，因 为2C的 半 径 为1，则2C M N的 面 积112 1 sin4522.【提示】（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（）将将=4代入22cos4sin40即可求出|MN，利用三角形面积公式即可求出2C MN的面积.【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系 8/8 24.【答案】（）当1a 时，不等式()1f x 化为|1|2|1|1xx，等价于11221xxx 或111221xxx 或11221xxx，解得223x，所以不等式()1f x 的解集为2|23xx.（）由题设可得，12,1()312,112,xa xf xxaxaxa xa ，所以函数()f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA，(21,0)Ba，(,+1)C a a，所以ABC的面积为22(1)3a，由题设得22(1)63a，解得2a，所以a的取值范围为(2,).【提示】（）利用零点分析法将不等式()1f x 化为一元一次不等式组来解；（）将()f x化为分段函数，求出()f x与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可求出a的取值范围.【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法