2015年高考文科数学全国卷2-答案.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A.
【考点】不等式基础知识，集合的交集运算
2.【答案】D
【解析】由题意可得，故选D．
【考点】复数的乘除运算，复数相等的概念
3.【答案】D
【解析】由柱形图可知2006年以来，我国二氧化碳排放量基本成递减趋势，所以二氧化碳排放量与年份负相关，故选D.
【考点】统计知识及对学生柱形图的理解
4.【答案】C
【解析】由题意可得，，所以，故选C.
【考点】向量数量积的坐标运算
5.【答案】A
【解析】由，所有，故选A.
【考点】等差数列的性质及前n项和公式的应用
6.【答案】D
【解析】如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的，剩余部分体积是正方体体积的，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.

【考点】三视图，几何体体积的计算
7.【答案】B
【解析】外接圆圆心在直线垂直平分线上即直线上，设圆心，由得，所以圆心到原点的距离，故选B.
【考点】圆的方程的求法，点到直线距离公式
8.【答案】B
【解析】由题意可知输出的a是18，14的最大公约数2，故选B.
【考点】程序框图，更相减损术
9.【答案】C
【解析】由题意可得，所以，故，选C.
【考点】等比数列性质，基本运算
10.【答案】C
【解析】设球的半径为，则面积为，三棱锥体积最大时，到平面距离最大且为，此时，所以球的表面积，故选C.
【考点】球与几何体的切接问题
11.【答案】B
【解析】由题意可得，，由此可排除C，D；当时点在边上，，，所以，可知时图像不是线段，可排除A，故选B.
【考点】函数的识图问题
12.【答案】A
【解析】由可知是偶函数，且在是增函数，
所以，故选A.
【考点】函数的奇偶性、单调性，不等式的解法
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】由可得.
【考点】利用函数解析式求值
14.【答案】8
【解析】不等式组表示的可行域是以，，为顶点的三角形区域，的最大值必在顶点处取得，经验算，，时.
【考点】线性规划
15.【答案】
【解析】根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为，把代入得，所以双曲线的方程为.
【考点】双曲线几何性质
16.【答案】8
【解析】由可得曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与联立得，显然，所以由.
【考点】数的几何意义，直线与抛物线相切
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）由正弦定理得，，因为平分，，所以；
（Ⅱ）因为，，所以，由（Ⅰ）知，所以，.
【提示】（Ⅰ）利用正弦定理转化得：；
（Ⅱ）由诱导公式可得，由（Ⅰ）知，所以，.
【考点】正弦定理及诱导公式的应用
18.【答案】（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”，由直方图得的估计值为，的估计值为，所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【提示】（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散；（Ⅱ）由直方图得的估计值为0.6，的估计值为0.25，所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【考点】频率分布直方图，概率估计
19.【答案】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：

（Ⅱ）作，垂足为，则，，，因为是正方形，所以，于是，，，因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为（也正确）.
【提示】（Ⅰ）分别在，上取，，使；
（Ⅱ）长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，可求得其体积比值为或.
【考点】几何体中的截面问题，几何体的体积的计算
20.【答案】（Ⅰ）由题意有，，解得，，所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线，，，，把代入 得，故，，于是直线的斜率，即，所以直线的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
【提示】（Ⅰ）由，求得，，由此可得的方程；
（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立得，所以，，于是.
【考点】直线与椭圆
21.【答案】（Ⅰ）的定义域为，，若，则，在是单调递增；若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值，当时在取得最大值，最大值为，因此。令，则在是增函数，，于是，当时，，当时，因此的取值范围是.
【提示】（Ⅰ）由，可分，两种情况来讨论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值，当时最大值为，因此.令，则在是增函数，当时，，当时，因此可求出的取值范围.
【考点】导数的应用
22.【答案】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线，又因为圆与，分别相切于，，所以，故，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故是的垂直平分线，又为圆的弦，所以在上，连接，，则，由等于圆的半径得，所以，因此，和都是等边三角形，因为，所以，，因为，，所以，于是，，
所以四边形的面积为.
【提示】（Ⅰ）要证明，可证明，；
（Ⅱ）先求出有关线段的长度，然后把四边形的面积转化为和面积之差来求.
【考点】几何证明，四边形面积的计算
23.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，联立两方程解得或，所以与交点的直角坐标，；
（Ⅱ）曲线极坐标方程为，其中，因此点的极坐标为，点的极坐标为，所以，当时取得最大值，最大值为4.
【提示】（Ⅰ）把与的方程化为直角坐标方程分别为，，联立解方程组可得交点坐标；
（Ⅱ）先确定曲线极坐标方程为，进一步求出点的极坐标为，点的极坐标为，由此可得.
【考点】参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化
24.【答案】（Ⅰ）因为，，由题设，，得，因此；
（Ⅱ）若，则，即，因为，所以，由（Ⅰ）得；
若，则，即，因为，所以，于是，因此，综上是的充要条件.
【提示】（Ⅰ）由及，可证明，开方即得；
（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明，但要分必要性与充分性来证明.
【考点】不等式证明，充分条件与必要条件

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