2017年高考理科数学全国卷2-答案.pdf

1/13 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：3i(3i)(1 i)2i1 i2，故选 D.名师点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若1z，2z互为共轭复数，则221212|zzzz，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.【考点】复数的除法 2.【答案】C【解析】试题分析：由1AB 得1B，即1x 是方程240 xxm的根，所以1 40m，3m，1,3B，故选 C 名师点睛：集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 两个防范：不要忽视元素的互异性；保证运算的准确性【考点】交集运算，元素与集合的关系 3.【答案】B【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有：7(12)38112x，解得3x，即塔的顶层共有灯 3 盏，故选 B.名师点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论.【考点】等比数列的应用，等比数列的求和公式 4.【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱，其体积213436V，上 半 部 分 是 一 个 底 面 半 径 为 3，高 为 6 的 圆 柱 的 一 半，其 体 积221(36)272V ，故该组合体的体积12362763VVV故选 B 2/13 名师点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线 在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解【考点】三视图，组合体的体积 5.【答案】A【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2yxz，其中z表示斜率为2k 的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B 处取得最小值，min2(6)(3)15Z ，故选 A.名师点睛：求线性目标函数(0)zaxby ab的最值，当0b时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当0b时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.【考点】应用线性规划求最值 6.【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343CA36种故选 D 名师点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：按元素（或位置）的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解【考点】排列与组合，分步乘法计数原理 7.【答案】D【解析】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选 D.3/13 名师点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）【考点】合情推理 8.【答案】B【解析】试题分析：阅读程序框图，初始化数值1a，1K，0S.循环结果执行如下：第一次：0 11S ，1a，2K；第二次：1 21S ，1a，3K；第三次：1 32S ，1a，4K；第四次：242S ，1a，5K；第五次：253S ，1a，6K；第六次：363S ，1a，7K.结束循环，输出3S.故选 B.名师点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；按照题目的要求完成解答并验证.【考点】程序框图 9.【答案】A【解析】试题分析：由几何关系可得，双曲线22221xyab(00)ab，的渐近线方程为0bxay，圆心(2,0)到渐近线距离为22213d，则点(2,0)到直线0bxay的距离为222023babdcab，即2224()3cac，整理可得224ca，双曲线的离心率2242cea故选 A 名师点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222bca 转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或2a转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）【考点】双曲线的离心率，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 10.【答案】C【解析】试题分析：如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABC D，4/13 则所求角为1BC D，1=2BC，2=21 2 2 1 cos60=3BD ，11=5C D AB，易得22211=C DBDBC，因此111210cos=55BCBC DC D，故选 C.名师点睛：平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(02，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【考点】异面直线所成的角，余弦定理，补形的应用 11.【答案】A【解析】试题分析：由题可得12121()(2)e(1)e(2)1exxxfxxaxaxxaxa，因为(2)0f ，所以1a，21()(1)exf xxx，故21()(2)exfxxx，令()0fx，解得2x或1x，所以()f x在(,2),(1,)上单调递增，在(2,1)上单调递减，所以()f x的极小值为1 1()(1 1 1)e11f，故选 A 名师点睛：（1）可导函数()yf x在点0 x处取得极值的充要条件是0()0fx，且在0 x左侧与右侧()fx的符号不相同；（2）若()f x在()ab，内有极值，那么()f x在()ab，内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值【考点】函数的极值，函数的单调性 12.【答案】B【解析】试题分析：如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)P x y，所以(,3)PAxy，(1,)PBxy ，(1,)PCxy，所以(2,2)PBPCxy，222333()22(3)22()222PAPBPCxyyxy，当3(0)2P，时，5/13 所求最小值为32，故选 B.【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值 二、填空题 13.【答案】1.96【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即100,0.02XB，由二项分布的期望公式可得(1)100 0.02 0.981.96DXnpp【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且C1n kkknp Xkpp表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率【考点】二项分布的期望与方差 14.【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式，则 222313()1 cos3coscos3cos(cos)1442f xxxxxx 由0,2x可得cos0,1x，当3cos2x 时，函数()f x取得最大值 1.名师点睛：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面进行分析.【考点】三角变换，复合型二次函数的最值 15.【答案】21nn 6/13 【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有113,41024 32,adda 解得11,1,da 数列的前n项和1(1)(1)(1)11222nn nnn nSnndan，裂项可得12112()(1)1kSk kkk，所以1111111122(1)()()2(1)223111nkknSnnnn.名师点睛：等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量1a，na，d，n，nS，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法.使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.【考点】等差数列前n项和公式，裂项求和.16.【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，作MBl与点B，NAl与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x，则2AN，4FF 在直角梯形ANFF中，中位线32ANFFBM，由抛物线的定义有：3MFMB，结合题意，有3MNMF，故336FNFMNM 【考点】抛物线的定义，梯形中位线在解析几何中的应用【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化 三、解答题 7/13 17.【答案】（1）15cos17B；（2）2b 【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理可知ABC，再利用诱导公式化简sin()AC，利用降幂公式化简21 cossin22BB，结合22sincos1BB即可求出cosB；（2）利用（1）中结论15cos17B，结合三角形面积公式可求出ac的值，根据6ac，进而利用余弦定理可求出b的值.试题解析：（1）由题设及ABC，可得2sin8sin2BB，故sin4(1 cosBB.上式两边平方，整理得217cos32cos150BB，解得cos1B（舍去），15cos17B.（2）由15cos17B 得8sin17B，故14=sin217ABCSacBac.又=2ABCS，则172ac.由余弦定理及6ac得：222217152cos()2(1cos)362(1)4217bacacBacacB，所以2b.【考点】余弦定理，三角形面积公式【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意ac，ac，22ac三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐 18.【答案】（1）0.4092；（2）有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35 kg【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A的概率估计值；（2）写出列联表计算的2K观测值，即可确定有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）结合频率分布直方图估计中位数为 52.35 kg.试题解析：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，由题意知()()()()P AP BCP B P C，旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为0.0120.0140.0240.0340.0()4050.62，故()P B的估计值为 0.62.新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为0.0680.0460.0100.00850.6)6(，故()P C的估计值为 0.66.8/13 因此，事件A的概率估计值为0.62 0.660.4092.（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量50 kg 箱产量50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 2K的观测值22200(62 6634 38)15.705100 100 96 104K.由于15.705 6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因 为 新 养 殖 法 的 箱 产 量 频 率 分 布 直 方 图 中，箱 产 量 低 于 50 kg 的 直 方 图 面 积 为0.0040.0200.04450(.)34 0.5，箱产量低于 55 kg 的直方图面积为0.0040.0200.0440.0685(0.68 0.)5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.50.345052.38(kg)0.068.名师点睛：（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和【考点】独立事件概率公式，独立性检验原理，频率分布直方图估计中位数 19.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连结EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，1=2EFAD，由=90BADABC 得BCAD,又1=2BCAD，所以EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF 平面PAD,BCE平面PAB，故CE平面PAB.（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，9/13 则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,3)P，(1,0,3)PC，(1,0,0)AB，设(,)M x y z，则(1,)BMxy z，(,1,3)PMx yz，因为BM与底面ABCD所成的角为 45，而=(0,0,1)n是底面ABCD的法向量，所以cos,sin45BM n，222|22(1)zxyz，即222(1)0 xyz.又M在棱PC上，设PMPC，则x，1y，33z.由解得，21,21,6,2xyz （舍去），21,21,6,2xyz 所以26(1,1,)22M，从而26(1,1,)22AM.设000(,)x y zm是平面ABM的法向量，则0,0,AMABmm即0000(22)260,0,xyzx 所以可取(0,6,2)m.于是10cos,|5 m nm nm n，因此二面角MABD的余弦值为105.【解析】试题分析：（1）取PA的中点F，连结EF，BF,由题意证得CEBF，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m，(0,0,1)n，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角MABD的余弦值为105.名师点睛：（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算 10/13 （2）设m，n分 别 为 平 面，的 法 向 量，则 二 面 角与,m n互 补 或 相 等，故 有|c o s,|o|s|c m nm nm n求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角【考点】判定线面平行，面面角的向量求法 20.【答案】（1）设(,)Px y，00(,)M x y，则0(,0)N x，0(,)NP xx y，0(0,)NMy.由2NPNM得0 xx，022yy.因为00(,)M x y在C上，所以22122xy.因此点P的轨迹方程为222xy.（2）由题意知(1,0)F .设(3,)Qt，(,)Pm n，则，(3,)OQt，(1,)PFmn ，33OQ PFmtn，(,)OPm n，(3,)PQm tn .由1OP PQ得2231mmtnn，又由（1）知222mn，故330mtn.所以0OQ PF，即OQ PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】试题分析：（1）设出点P、M的坐标，利用2NPNM得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222xy；（2）利用1OP PQ可得坐标之间的关系：2231mmtnn，结合（1）中的结论整理可得0OQ PF，即OQPF，据此即可得出结论.名师点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系(,)0Fx y（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入（相关点）法：动点(,)Px y依赖于另一动点00(,)Q x y的变化而运动，常利用代入法求动点(,)Px y的轨迹方程【考点】轨迹方程的求解，直线过定点问题 21.【答案】（1）()f x的定义域为(0,).设()lng xaxax，则()()f xxg x，()0f x 等价于()0g x.11/13 因为(1)=0g，()0g x，故(1)=0g，而1()g xax，(1)1ga，得1a.若1a，则1()1g xx.当01x 时，()0g x，()g x单调递咸；当1x时，()0g x，()g x单调递增.所以1x 是()g x的极小值点，故()(1)0g xg.综上，1a.（2）由（1）知2()lnf xxxxx，()22lnfxxx 设()22lnh xxx，则1()2 xhx 当1(0,)2x 时，()0h x；当1(,)2x时，()0h x，所以()h x在1(0,)2上单调递减，在1(,)2上单调递增 又2(e)0h，1()02h，(1)0h，所以()h x在1(0,)2有唯一零点0 x，在1,)2有唯一零点 1，且当0(0,)xx时，()0h x；当0(,1)xx时，()0h x，当(1,)x时，()0h x 因为()()f xh x，所以0 xx是()f x的唯一极大值点 由0()0f x得00ln2(1)xx，故000()(1)f xxx 由0(0,1)x 得01()4f x 因为0 xx是()f x在(0,1)的最大值点，由1(1)e0,，1(e)0f 得120()(e)ef xf 所以220e()2f x【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数()22lnh xxx，结合()h x的单调性和()f x的解析式即可证得题中的不等式成立.名师点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 12/13 22.【答案】（1）22240 xyx（2）23【解析】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值.试题解析：（1）设P的极坐标为()()0,，M的极坐标为11()()0,.由题设知OP，14cosOM.由16OMOP得2C的极坐标方程为0)4cos(，因此2C的直角坐标方程为22(240)()xyx.（2）设点B的极坐标为()(0)BB,，由题设知2OA，4cosB，于是OAB的面积13sin4cossin2 sin 2232332BSOAAOB.当12 时，S取得最大值23，所以OAB面积的最大值为23.名师点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程，三角形面积的最值 23.【答案】（1）55655633 23344222()()()(244.)()ab abaaba bbaba bab abab ab（2）因为3322323()()(333()23243(2)4abaa babbabab ababab，所以3()8ab，因此2ab.【解析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向332ab靠拢；（2）利用均值不等式的结论结合题意证得3()8ab即可得出结论.13/13 名师点睛：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法.【考点】基本不等式，配方法