2017年高考理科数学全国卷1-答案.pdf

1/13 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题 1.【答案】A【解析】本题考查集合的运算及简单不等式的求解.由31x,得0 x,所以|0Bx x,故|0ABx x,故选A.2.【答案】B【解析】本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率2228P,故选B.3.【答案】B【解析】本题考查复数的计算和命题真假的判断.对于命题1p,设(,)zabi a bR,由2211abizabiabR,得0b,则zR成立,故命题1p正确；对于命题2p,设(,)zabi a bR,由222()2zababiR,得0a b,则0a 或0b,复数z可 能 为 实 数 或 纯 虚 数,故 命 题2p错 误；对 于 命 题3p,设1(,)zabi a bR,2(c,d)zcdiR,由12()()zzacbdadbc iR,得0adbc,不一定有12zz,故命题3p错误；对于命题4p,设(,)zabi a bR,则由zR,得0b,所以zaR成立,故命题4p正确.故选B.4.【答案】C 2/13 【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列na中,166()482aa nS,则162516aaaa,又4524aa,所以42224 168aad,得4d,故选C.5.【答案】D【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数()f x在(,)上为单调递减函数,且为奇函数,则(1)(1)1ff,所以原不等式可化为(1)(x 2)(1)fff,则121x,即13x,故选D.6.【答案】C【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于621(1)(1)xx,若要得到2x项,可以在21(1)x中选取 1,此时6(1)x中要选取含2x的项,则系数为26C；当在21(1)x中选取21x时,6(1)x中要选取含4x的项,即系数为46C,所以,展开式中2x项的系数为246630CC,故选C.7.【答案】B【解析】本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥ABCE和下方的三棱柱11BCEBC A构成,其中面11CC A A和面11BB A A3/13 是梯形,则梯形的面积之和为(24)2122.故选B.8.【答案】D【解析】本题考查程序框图问题.本题求解的是满足321 000nn的最小偶数,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为1 000A,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为2nn,故选D.9.【答案】D【解析】本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.22sin(2)cos(2)cos(2)cos2()332612yxxxx,由cosyx的图象得到cos2yx的图象,需将曲线1C上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变；由cos2yx的图象得到cos2()12yx的图象,需将cos2yx的图象上的各点向左平移12个单位长度,故选D.10.【答案】A【解析】如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为1A,1B,则1|=|AFAA,1|=|BFBB,过点F向1AA引垂线FG,得|cos|AGAFpAFAF,则|=1 cospAF,同理,|=1cospBF,则22|sinpABAFBF,即24|sinAB,因l与2l垂直,故直线DE的倾斜角为2或2,4/13 则24|cosDE,则222222444416|1sincossincossin 2(sin2)2ABDE,则易知|ABDE的最小值为 16.故选 A.11.【答案】D【解析】由235xyz,可设23535(2)(3)(5)xyzt,因为x,y,z为正数,所以1t,因为636228,6236339,所以323；因为105102232,510525,所以525,所以53523.分别作出(2)xy,3(3)xy,5(5)xy 的图像,如图.则325yxz,故选 D.12.【答案】A【解 析】本 题 考 查 了 等 比 数 列 求 和、不 等 式 以 及 逻 辑 推 理 能 力.不 妨 设11(1 2)(1 22)(1 22)2ntm(其中m、n、tN,0tn),则有(1)12n nNt,因为100N,所以13n.由等比数列的前n项和公式可得1122212ntmn.因为13n,所以22nn,所以1222nnn,即1222nnn 因为1210t,所以12222mnnn,故1mn,5/13 因为112121tn,所以2223mnn,故1mn.所以1mn,从而有t 123n,因为13n,所以3t.当3t 时,95N,不合题意；当4t 时,440N,满足题意,故所求的最小值为440.二、填空题 13.【答案】2 3【解析】本题考查向量数量积的计算.由题意知1|cos602 112 abab,则2222|2|(2)|4|444412abababa b.所以|2|2 3ab.14.【答案】5【解析】本题考查利用线性规划求解最值.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平移直线320 xy可知,目标函数32zxy在A点处取最小值,又由21,21xyxy 解得1,1,xy 即(1,1)A,所以min3(1)2 15z .15.【答案】2 33 6/13 【解析】本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M、N在渐近线byxa上,如图,AMN为等边三角形,且|AMb,则A点到渐近线byxa的距离为32b,又将byxa变 形 为 一 般 形 式 为0bxay,则(,0)A a到 渐 近 线0bxay的 距 离22|baabdcab,所以32abbc,即32ac,所以双曲线离心率2 33cea.16.【答案】4 15【解析】由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO并延长交AB于H,连接DO、DH.则DO 平 面ABC.令 cmOHx,则2 cmOCx,(5)cmDHx,得22(5)25 10 cmODxxx,2 3 cmAB.则2231 1(2 3 3)25 103 25 101552 cm3 2D ABCVxxxxxxx,令2()1552f xxx,则22115(105)()15(252 )5252xxfxxxxxx,则当(0,2)x时,()f x单调递增,当(2,2.5)x时,()f x单调递减,所以当2x 时,体积取最大7/13 值,为33454 15 cm.三、解答题 17.【答案】解：(1)由题设得21sin23sinaacBA,即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.故2sinsin3BC.(2)由题设及(1)得1coscossinsin2BCBC,即1cos()2BC.所以23BC,故3A.由题设得21sin23sinabcAA,即8bc.由余弦定理得229bcbc,即2()39bcbc,得33bc.故ABC的周长为333.【解析】本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.18.【答案】解：(1)由已知90BAPCDP,得ABAP,CDPD.由于/ABCD,故ABPD,从而AB 平面PAD.又AB 平面PAB,所以平面PAB 平面PAD.8/13 (2)在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB 平面PAD,故ABPF,可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得2222(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222APBC 所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222PCCBPAAB 设(,)nx y z是平面PCB的法向量,则 0,0,n PCn CB即220,2220.xyzx 可取(0,1,2)n .设(,)mx y z是平面PAB的法向量,则 0,0,m PAm AB即220,220.xzy 可取(1,0,1)m.9/13 则3cos,|3n mn mn m.所以二面角APBC的余弦值为33.【解析】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.19.【答案】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.997 4,从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.002 6,故(16,0.0026)XB,因此 16(1)1(0)1 0.997 40.0408P XP X .X的数学期望为16 0.00260.0416EX.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.002 6,一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有 0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由9.97,0.212xs,得的估计值为9.97,的估计值为0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(3,3)之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为1(16 9.979.22)10.0215,因 此的 估 计 值 为10.02.16222116 0.21216 9.971591.134iix,剔 除(3,3)之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为,221(1591.1349.2215 10.02)0.00815,因此的估计值为0.0080.09.【解析】本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.10/13 20.【答案】(1)由于34,P P两点关于y轴对称,故由题设知C经过34,P P两点.又由222211134abab知,C不经过点1P,所以点2P在C上.因此22211,131,4bab解得224,1.ab 故C的方程为2214xy.(2)设直线2P A与直线2P B的斜率分别为12,k k.如果l与x轴垂直,设:l xt,由题设知0t,且|2t,可得,A B的坐标分别为2244(,),(,)22tttt.则22124242122ttkktt,得2t,不符合题设.从而可设:(1)l ykxm m.将ykxm代入2214xy得 222(41)8440kxkmxm.由题设可知2216(41)0km.设1122(,),(,)A x yB xy,则2121222844,4141kmmxxx xkk.而12121211yykkxx 121211kxmkxmxx 11/13 1212122(1)()kx xmxxx x,由题设121kk,故1 212(21)(1)()0kx xmxx.即222448(21)(1)04141mkmkmkk.解得12mk.当且仅当1m 时,0,于是1:2ml yxm,即1122myx ,所以l过定点(2,1).【解析】解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.21.【答 案】(1)()f x的 定 义 域 为(,),2()2(2)1xxfxaeae(1)(21)xxaee.(i)若0a,则()0fx,所以()f x在(,)单调递减.(ii)若0a,则由()0fx的lnxa.当(,ln)xa 时,()0fx；当(ln,)xa 时,()0fx 所以()f x在(,ln)a 单调递减,在(ln,)a单调递增.(2)(i)若0a,由(1)知,()f x至多有一个零点.(ii)若0a,由(1)知,当lnxa时,()f x取得最小值,最小值为1(ln)1lnfaaa.当1a 时,由于(ln)0fa,故()f x只有一个零点；12/13 当(1,)a时,由于11ln0aa,即(ln)0fa,故()f x没有零点；当(0,1)a时,11ln0aa,即(ln)0fa.又422(2)(2)2220faeaee,故()f x在(,ln)a 有一个零点.设正整数0n满足03ln(1)na,则00000000()(2)20nnnnf neaeanenn.由于3ln(1)lnaa,因此()f x在(ln,)a有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).【解析】本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题.22.【答案】解：(1)曲线C的普通方程为.当1a 时,直线l的普通方程为430 xy.由22430,19xyxy解得3,0 xy或21,2524.25xy 从而C与l的交点坐标为21 24(3,0),(,)25 25.(2)直线l的普通方程为440 xya,故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad.当4a 时,d的最大值为917a,由题设得91717a,所以8a；当4a 时,d的最大值为117a,由题设得11717a,所以16a.2219xy13/13 综上,8a 或16a.【解析】本题考查参数方程的应用.23.【答案】解：(1)当时,不等式()()f xg x等价于 2|1|1|40 xxxx .当1x 时,式化为2340 xx,无解；当11x 时,式化为220 xx,从而11x；当1x 时,式化为240 xx,从而11712x.所以()()f xg x的解集为117|12xx .(2)当 1,1x 时,()2g x.所以()()f xg x的解集包含 1,1,等价于当 1,1x 时()2f x.又()f x在 1,1的最小值必为(1)f 与(1)f之一,所以(1)2f 且(1)2f,得11a.所以a的取值范围为 1,1.【解析】本题考查参数方程的应用.1a