2012年高考数学理科陕西卷-答案.pdf

1/8 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析 第一部分 一、选择题 1.【答案】C【解析】|1Mx x，|22Nxx，|12MNxx故选 C【提示】根据集合的表示法（描述法）即可求出集合的交集【考点】集合的基本运算（交集）2.【答案】D【解析】A 是增函数不是奇函数错误，B 和 C 都不是定义域内的增函数排除，只有 D 正确，因此选 D【提示】根据函数单调性和奇偶性定义采用排除法得到结果【考点】函数单调性，奇偶性的判断 3.【答案】B【解析】当0ab，0a 或0b，iba 不一定是纯虚数，反之iba 为纯虚数时，0a，0b，0ab，因此 B 正确【提示】先判断充分性、再判断必要性得到结果【考点】充分条件，必要条件 4.【答案】A【解析】因为2222:40(2)4C xyxxy，所以圆C是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆，又(3,0)P在圆内，所以l与圆C相交 故选 A【提示】根据(3,0)P与圆的位置关系判断l与圆的位置关系，即可得出结果【考点】直线与圆的位置关系 5.【答案】A【解析】设CB=1，则12CCCA，(2,0,0)A，(0,0,1)B，1(0,2,0)C，1(0,2,1)B，1(2,2,1)AB，1(0,2,1)BC，2/8 1122222 02 2 1(1)5cos,5(2)212(1)AB BC ，故选 A【提示】根据空间直角坐标系用空间向量即可求出异面直线夹角的余弦值【考点】空间直角坐标系 6.【答案】B【解析】从茎叶图来看乙中数据集中，甲比较分散，所以xx甲乙，又18+2227+31=20=2922mm乙甲，所以选 B【提示】根据茎叶图特点判断平均数，再求出中位数得到结果【考点】茎叶图 7.【答案】D【解析】()(1)exfxx，当1x时，()0fx，()f x在(,1)上递减；当1x 时，()0fx，()f x在(1,)递增，极值点为1x 所以选 D【提示】先求出所给函数的导函数，根据导函数求出函数的极值【考点】导数求函数的极值 8.【答案】C【解析】某一个人获胜可以分成 3 中情况，得分 3：0，3：1，3：2；方法数为2213421)20CCC（所以选 D【提示】先找出获胜情况，再利用排列组合求出总方法数【考点】排列，组合 9.【答案】C【解析】由余弦定理结合基本不等式可得22222222221cos1222abcabccCababc 所以选 C【提示】根据余弦定理结合基本不等式判断cosC的最小值【考点】余弦定理，基本不等式 10.【答案】D【解析】由循环体可知结果41000MP 3/8 所以选 D【提示】根据程序框图的逻辑结构判断空白框内填入的结果【考点】循环结构的程序框图 第二部分 二、填空题 11.【答案】2222211111111+234566【解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从 1、2、3、4、5 的平方依次增加 1 后的平方，分子全是 1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和，于是有：2222211111111+234566【提示】从给出的几个不等式的特征猜测出一般的规律得到第五个不等式【考点】合情推理 12.【答案】1【解析】515rrrrTC ax，2r，25 2510C a，1a 【提示】根据二项式定理及其性质求出a的值【考点】二项式定理 13.【答案】2 6【解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点(2,2)A则抛物线方程为22xpy，代入得22=2(2)p，2=2p，22xy，当水面下降 1 米时，水面和拱桥的交点记作(,3)B a 则代入抛物线方程得：6a，因此水面宽2 6米【提示】先求出抛物线标准方程，然后把坐标代入即可求出水面宽【考点】抛物线的标准方程 14.【答案】2【解析】1()fxx，(1)1kf ，切线:1l yx因而切线l、曲线()f x、x轴围成三角形区域，其中最优解是(0,1)代入得max2z【提示】根据导函数求出切线方程，再根据限制条件画出可行域，找出满足目标的最优解，进而求出maxz【考点】导数的几何意义，二元线性规划求目标函数的最值 4/8 15.A（不等式选做题）【答案】24a 【解析】由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可，根据不等式的性质得|()(1)|3xax，|1|3a，24a 【提示】根据绝对值不等式的性质化简，进而即可求出实数a的取值范围【考点】绝对值不等式 15.B（几何证明选做题）【答案】5【解析】RtDEFRtDEB，DFDEDEBD，即2=DEDF BD，又由相交弦定理得2=1 55DEAE EB ，5DF BD 【提示】根据相似三角形转化DF DB，然后根据相交弦定理求出结果【考点】直线和圆的位置关系相交弦定理 15.C（坐标系与参数方程）【答案】3【解析】化极坐标为直角坐标得直线12x，圆22(1)1xy，由勾股定理可得相交弦长为32=32 【提示】先化为普通方程，然后利用勾股定理求解【考点】坐标系与参数方程 三、解答题 16.【答案】（）()2sin 216f xx（）3【解析】（）13A，2A，又函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，22T，T，22T，()2sin 216f xx；5/8 （）2sin1226f，1sin62，02，663，66，3【提示】根据三角函数的图象与性质求出解析式，然后根据三角函数求值求出的值【考点】三角函数的图象与性质，由图象求解析式 17.【答案】（）5a，3a，4a成等差数列，3542=+aaa，2431112a qa qa q，10a，0q，220qq，2q，1q（舍去），2q；（）证法一：（等差中项法）kN，2121121112()()2(2)0kkkkkkkkkkkkSSSSSSSaaaaa；证法二：（公式法）12(1)21kkaqSq，212111121(1)(1)(2)111kkkkkkaqaqaqqSSqqq，212111212(1)(2)2()(2)0(2)111kkkkkkkaqaqqa qSSSqqqqqq，2kS，kS，1kS成等差数列【提示】由等差数列的已知项之间的关系推出数列的公比，再利用等差中项法或公式法证明结论【考点】等差数列，等比数列，前n项和 6/8 18.【答案】（）证法一：（向量法）如图过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别为a，b，c，n，则b，c，n共面，存在实数，使cbn，0a cabna ba n（）（）（），a，n，0a n，0a c，ac；证法二：（利用垂直关系证明）如图，cbA，P为直线b上异于A的点，作PO，Oc，POa，ab，b平面PAO，PObP，a 平面PAO，c平面PAO，ac；（）逆命题为“a是平面内的一条直线，b是外的和它不垂直的直线，c是直线b在上的投影，若ac，则ab”逆命题为真命题【提示】根据共面向量存在定理证明结论；通过对四种命题的理解写出其逆命题【考点】平面向量在平面几何中的应用，两条直线的位置关系，四种命题及其之间的关系 19.【答案】（）221164xy（）yx或yx 7/8 【解析】（）依题意设椭圆方程为2221(2)4xyaa，32e，24312a，216a，椭圆方程为221164xy；（）设11,)A x y（，22,)B x y（，2OBOA，O，A，B三点共线且不在y轴上，设直线AB方程为ykx，并分别代入2214xy和221164xy，得：12414xk，22164xk，2OBOA，21224xx，221616414kk，1k，所求直线为：yx或yx【提示】根据椭圆间关系求出椭圆方程；联立直线与椭圆的解析式求出直线AB的方程【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 20.【答案】（）设顾客办理业务所需时间为Y，用频率估计概率的分布列如下：Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（）事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”记作A，则()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P AP YP YP YP YP YP Y 0.1 0.30.3 0.1 0.4 0.40.22（3）X所有可能取值为 0，1，2，所以(0)(2)0.5P XP Y，(1)(1)(1)(2)0.1 0.90.40.49P XP YP YP Y，(2)(1)(1)0.1 0.10.01P XP YP Y，8/8 因此X的分布列为：X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 所以X的期望0 0.5+1 0.49+2 0.01=0.51EX 【提示】根据离散型随机变量的特点即可求解【考点】离散型随机变量的分布列与期望 21.【答案】（）当1b，1c，2n时，()1nf xxx，111(1)10222nff，()f x在1,12内有零点，又当1,12x，1()10nfxnx，()f x在区间1,12内单调递增，()f x在1,12内有唯一的零点；（）当2n 时，2()f xxbxc=，若12b，即|2b 时，()f x最大值|(1)(1)|2|4Mffb=与题设矛盾；若102b ，即02b时，2(1)1422bbMff =恒成立；若012b，即20b 时，2(1)1422bbMMff =恒成立 综上：22b （3）设nx是()nfx在1,12内的唯一零点，111+1+1()(1)=+1)1+1 1)+1+10nnnnnnnnnnnnfx fxxxxxx （，+1()nfx的零点+1nx在区间+1(,1)nx内，+1(2)nnxxn，数列2x，3x，nx，是递增数列【提示】先把解析式中未知数代入，结合零点存在定理证明；根据解析式最大值判断b范围；根据零点判断增减性【考点】函数与方程，导数的综合应用，函数与数列的综合运用