2012年高考文科数学天津卷-答案.pdf

-1-/10 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C【解析】复数53i(53i)(4i)1717i1i4i(4i)(4i)17 【提示】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果。【考点】复数代数形式的乘除运算。2.【答案】B【解析】做出不等式对应的可行域如图：由32zxy得322zyx，由图象可知当直线322zyx经过点(0,2)C时，直线322zyx的截距最大，而此时32zxy最小为324zxy。【提示】先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值。【考点】简单线性规划。3.【答案】C【解析】第一次循环013322Sn，第二次循环2223383Sn，第三次循环323833264Sn，第四次循环满足条件输出26S。【提示】根据框图可求得12S，28S，326S，执行完后 n 已为 4，故可得答案。【考点】数列的求和，循环结构。4.【答案】A【解析】因为0.20.2121222b，所以1ba，25552log 2log 2log 41c，所以cba。-2-/10 【提示】由0.21222b 得出1ba，再由5552log 2log 4log 51c，从而得到 a，b，c 的大小关系。【考点】不等式比较大小。5.【答案】A【解析】不等式2210 xx 的解集为12x 或1x，所以“12x”是“2210 xx”成立的充分不必要条件。【提示】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可。【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断。6.【答案】B【解析】函数2log|yx为偶函数，且当0 x 时，函数为22log|logyxx增函数，所以在(1,2)上也为增函数。【提示】利用函数奇偶性的定义可排除 C，D，再由“在区间(1,2)内是增函数”可排除 A，从而可得答案。【考点】函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明。7.【答案】D【解析】函数向右平移4得到函数()sinsin444g xfxxx，因为此时函数过点3,04，所以3sin044，即3442k，所以2k，kZ，所以的最小值为 2.【提示】图象变换后所得图象对应的函数为sin()4yx，再由所得图象经过点3,04可得3sin044sin02，故2k，由此求得 的最小值。【考点】由sin(+)yAx的部分图象确定其解析式，函数sin(+)yAx的图象变换。8.【答案】B【解析】如图所示：设ABb，ACb，则|1b，|2c，0b c 又(1)BQBAAQbc，CPCAAPCb由2BQ CP得22(1)(1)|4(1)2bccbcb ，即32，23。【提示】由题意可得0AB AC，根据(1)BQ CP 22(1)412ACAB，求得 的值。-3-/10 【考点】平面向量数量积的运算。第卷 二、填空题 9.【答案】3【解析】3不等式|2|5x，即52 5x ，37x，所以集合|37Axx 所以最小的整数为3。【提示】由|2|5x可解得37x，从而可得答案。【考点】绝对值不等式的解法。10.【答案】30【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为3 4 224 ，五棱柱的体积是(12)1 462，所以几何体的总体积为30。【提示】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可。【考点】由三视图求面积、体积。11.【答案】1 2【解析】双曲线的221416xy渐近线为2yx，而22221xyab的渐近线为byxa，所以有2ba，2ba，又双曲线22221xyab的右焦点为(5,0)，所以5c，又222cab，即222545aaa，所以21a，1a，2b。【提示】双曲线 C1：22221xyab(a0,0)b的渐近线方程为byxa，右焦点为(,0)c，结合已知即可得2ba，5c，列方程即可解得 a，b 的值。【考点】双曲线的简单性质。12.【答案】3【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为110,0ABnm，直线与圆相交所得的弦长为 2，圆心到直线的距离d满足22214 13dr，所以3d，即圆心到直线的距离22|1|3dmn，所以2213mn。三角形的面积为1 11122|Smnmn，又221132|Smnmn，当且仅当1|6mn时取等号，所以最小值为3。-4-/10 【提示】由圆的方程找出圆心坐标和半径 r，由直线 l 被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线 l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出22mn的值，再由直线 l 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，由直线 l 的解析式分别令0 x 及0y，得出 A 的横坐标及 B 的纵坐标，确定出 A 和 B 的坐标，得出 OA 及 OB 的长，根据三角形 AOB 为直角三角形，表示出三角形 AOB 的面积，利用基本不等式变形后，将22mn的值代入，即可求出三角形AOB 面积的最小值。【考点】直线与圆相交的性质，直线的一般式方程。13.【答案】43【解析】如图所示：连结 BC，BE，则12，2A 1A，又BB，CBFABC，CBBFABBC，CBCFABAC，代入数值得2BC，4AC，又由平行线等分线段定理得ACAFCDFB，解得43CD。【提示】由相交弦定理求出 FC，由相似比求出 BD，设D C x，则4A Dx，再由切割线定理，2BDCD AD求解。【考点】与圆有关的比例线段。14.【答案】01k或12k【解 析】函 数2|1|(1)(1)|11xxxyxx，当1x 时，2|1|1|11xyxxx，当1x 时，21,11|1|1|1,11xxxyxxxx ，综上函数211|1|1,1111,1xxxyxxxxx ,，做出函数的图象，要使函 数y与ykx有 两 个 不 同 的 交 点，则 直 线ykx必 须 在 蓝 色 或 黄 色 区 域 内，如 图：-5-/10 则此时当直线经过黄色区域时(1,2)B，k满足12k，当经过蓝色区域时，k满足01k，综上实数的取值范围是01k或12k。【提示】函数211|1|1|1|(1),11111,1xxxxxyxxxxxx ,，如图所示，可得直线ykx与函数2|1|1xyx的图象相交于两点时，直线的斜率 k 的取值范围。【考点】函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系。三、解答题 15.【答案】（1）解：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3，2，1.（2）解：（）在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为1A，2A，3A。2 所中学分别记为4A，5A，大学记为6A，则抽取 2 所学校的所有可能结果为12,A A，13,A A，14,A A，15,A A，16,A A，23,A A，24,A A，25,A A，26,A A，34,A A，35,A A，36,A A，45,A A，46,A A，56,A A，共 15 种。（）从 6 所学校中出去的 2 所学校均为小学（记为时间B）的所有可能结果为12,A A，13,A A，23,A A，共 3 种。所以31()155P B 【提示】（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校，所有结果共有2615C 种，按规律列举即可；先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果。【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，分层抽样方法。16.【答案】（1）解：在ABC中，由2cos4A，可得14sin4A。又由sinsinacAC及2a，2c，可得7sin4C。由2222cosabcbcA。可得220bb，解得1b。-6-/10 （2）解：由2cos4A，14sin4A，得23cos22cos14AB ，7sin22sincos4AAA。所以321cos 2cos2 cossin2 sin3338AAA 。【提示】（1）ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出118nnnTab，再由正弦定理求出2222152aaab，再由余弦定理求得1b。（2）利用二倍角公式求得2200(1)20kxax的值，由此求得2232(1)45kk，再由两角和的余弦公式求出cos(2)cos2 cossin2 sin333AAA的值。【考点】解三角形，三角函数中的恒等变换应用 17.【答案】（1）解：如图：在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC，且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPAD中，tan2PDPADAD，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2。（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADBC，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而ADABCD平面，所以平面PDCABCD平面。（3）解：在平面PDC内，过点P作PECD于E，连接EB。由于平面PDC 平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE 平面ABCD。由此得PEB为直线PB与平面ABCD所成角，在PAC中，-7-/10 由于2PDCD，2 3PC，可得30PCD，在RtPEC中，sin303PEPC。由ADBC，AD平面PDC，得BC 平面PDC，因此BCPC。在Rt PCB中，22+13PBPCBC。在Rt PEB中，39sin13PEPBEPB。所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913。【提示】（1）判断PAD为异面直线 PA 与 BC 所成角，在RtPAD中，求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；（2）说明ADBC，通过ADPD，CDPDD，证明AD平面PDC，然后证明平面PDC 平面ABCD。（3）在平面PDC中，过点P作PECD于E，连接EB。说明PEB为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在RtPEB中，通过sinPEPBEPB，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【考点】直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定。18.【答案】（1）解：设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的首项为q，由112ab，得344423286adbqSd，由44442710abSb，得方程组332322786210dqdq，解得32dq，所以：312nnnanbnN，。（2）证明：由（1）得 232 25 28 2312nnTn ；23122 25 2342312nnnTnn 。由得，2312 23 23 2312nnTn -8-/10 116123122342812nnnnn。即18342nnTn，而当2n 时，111312nnnabn。所以，118nnnTab，2nnN，。【解析】【提示】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（2）先借助于错位相减法求出nT的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立。【考点】等差数列与等比数列的综合，数列的求和。19.【答案】（1）解：因为点52,52Paa在椭圆上，所以2222152aaab 所以2258ba 所以222531188bea 所以64e。（2）解：设直线的OQ斜率为k，则其方程为ykx 设点Q的坐标为00(,)xy，由条件得00220022,1.ykxxyab消去0y并整理得2220222a bxk ab 由|(,0)AQAOAa，及00ykx，得222200()xak xa。整理得2200(1)20kxax，而00 x，故0221axk，代入，整理得2222(1)44bkka，由（1）知2258ba，故2232(1)45kk，即22522150kk，可得25k。所以直线OQ的斜率5k 。【提示】（1）根据点52,52Paa在椭圆上，可得2222152aaab，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx，设点Q的坐标为00(,)xy，与椭圆方程联立得2220222a bxk ab，根据|(,0)AQAOAa，00ykx，可求0221axk，由此可求直线OQ的斜率的值。-9-/10 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质。20.【答案】（1）解：求导函数可得()(+1)()fxxxa，令()0fx，可得11x ，20 xa，令()0fx，可得1x或xa；令()0fx，可得1xa 故函数的单调递增区间为,1，+a,，单调递减区间为1,a。（2）解：由（）知函数在区间2,1（-）内单调递增，在1,0（-）内单调递减，从而函数在2,0（-）内恰有两个零点，(2)0(1)0(0)0fff，20310620aa，103a。a的取值范围为10,3a；（3）解：1a 时，31()13f xxx由（）知，函数在(3,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增；当 3,2t 时，+3 0,1t，1 ,3t t，()f x在,1t 上单调递增，在 1,3t上单调递减，因此函数在,3t t 上的最大值为1()(1)3M tf，而最小值()m t为()f t与(3)f t 中的较小者，由(3)()3(1)(2)f tf ttt知，当 3,2t 时，()(+3)f tf t，故()()mtft，所以()(1)()g tff t 而()f t在 3,2 上单调递增，因此，所以()g t在 3,2 上的最小值为154(2)333g 当 2,1t 时，+3 1,2t，1,1 ,3t t，下面比较(1)f，(1)f，()f t，(+3)f t的大小。由()f x在 2,1，1,2上单调递增，有(2)()(1)(1)(3)(2)ff tfff tf，51(1)(2)(1)(2)33ffff ，1()(1)3M tf，5()(1)3m tf 4()()()3g tM tm t 综上，函数()gt在区间 3,1 上的最小值为43。【提示】（1）求导函数，令()0fx，可得函数的递增区间；令()0fx，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间(2,1)内单调递增，在(1,0)内单调递减，从而函数在(2,0)内恰有两个零点，-10-/10 由此可求 a 的取值范围；（3）1a 时，31()13f xxx，由（1）知，函数在(3,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，再进行分类讨论：当 3,2t 时，3 0,1t ，1 ,3t t，()f x在,1t 上单调递增，在 1,3t上单调递减，因此函数在,3t t 上的最大值为1()(1)3M tf，而最小值()m t为()f t与(3)f t 中的较小者，从而可得g()t在 3,2 上的最小值；当 2,1t 时，3 1,2t ，1,1 ,3t t，比较(1)f，(1)f，()f t，(3)f t 的大小，从而可确定函数()g t在区间 3,1 上的最小值。【考点】函数的最值，函数的单调性，函数的极值。