2015年高考文科数学天津卷-答案.pdf

1/8 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】B【解析】23525UAC B，则()25UAB，故选 B【提示】求出集合 B 的补集，然后求解交集即可.【考点】集合运算.2.【答案】C【解析】513=(2)(28)9922zxyxxy，当23xy，取得最大值 9，故选 C此题也可画出可行域，借助图像求解.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.【考点】线性规划 3.【答案】C【解析】由程序框图可知：0101927iSiSiS，；，；，；34iS，；.4i,0.S 故选 C【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的iS，的值，当0S 时满足条件1S，退出循环，输出i的值为 4.【考点】程序框图.2/8 4.【答案】A【解析】由2112113xxx ，可知“12x”是“21x”的充分而不必要条件，故选 A【提示】求解|21x，得出“12x”，根据充分必要条件的定义判断即可.【考点】不等式、充分条件与必要条件.5.【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bxay与圆22(2)3xy相切，得2223bab，由222cab，解得13ab，故选 D【提示】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求出ab，的关系，结合焦点为(20)F,，求出ab，的值，即可得到双曲线的方程.【考点】圆与双曲线的性质.6.【答案】A【解析】由相交弦定理，得83CM MDCM MDCN NENECN，故选 A【提示】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可.【考点】相交弦定理.7.【答案】B【解析】因为 21x mf x为偶函数，所以0m，即()21xf x.221log3log 30.521(log3)log21213 123aff ，2log 52(log 5)214bf.0(2)(0)210cfmf，所以cab.故选 B【提示】根据函数的奇偶性得出 21021210 xx mxxf xx，利用单调性求解即可.【考点】奇偶性质，对数运算.8.【答案】A【解析】当0 x时，22fxx此时方程2()()1f xg xxx 的小于零的零点为152x；3/8 当02x时，(2)22fxxx，方程()()231f xg xxx 无零点；当2x 时，(2)224fxxx，方程22()()(2)155f xg xxxxx 大于 2 的零点有一个，故选 A【提示】求出函数()-()yf xg x的表达式，构造函数()()(2)h xf xfx，分类讨论进行求解即可.【考点】函数与方程.第卷 二、填空题 9.【答案】i【解析】212ii2ii(i2)i2i2i2i.【提示】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可.【考点】复数运算.10.【答案】83【解析】该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 的圆柱组合而成，所以该几何体的体积为3182 12=(m)33 .【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积.【考点】三视图、几何体的体积.11.【答案】3【解析】因为()afxx，所以(1)3fa.【提示】由题意求出()fx，利用()3fx，求 A【考点】导数的运算法则.12.【答案】4【解析】222222222loglog(2)11loglog2=(log 2)(log 16)4244ababab，当且仅当2ab时取等号，结合008abab，可得42ab，.【提示】由条件可得1a，再利用基本不等式，求得当4a 时，22loglog 2)(ab取得最大值，从而得出结论.【考点】基本不等式.4/8 13.【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD中，已知2160ABDCABBCABC，得11122AD BCAB ADDCAB，所以 21312AE AFABBEADDFABBCADAB 221111129131218331818AB ADBC ADABBC AB 【提示】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可.【考点】平面向量的数量积.14.【答案】2【解析】由 f x在区间(,)内单调递增，且()f x的图像关于直线x对称，可得2，且222()sincos2sin14f，所以2=422.【提示】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得函数()f x的单调递增区间，结合已知可解得0k，又由42xk，可解得函数()f x的对称轴，结合已知可得：24，从而可求的值.【考点】三角函数的性质.三、解答题 15.【答案】（）由分层抽样方法可知，应从甲，乙，丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3，1，2；（）（i）从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛，所有可能的结果为12AA，13AA，14AA，151623242526 AAAAAAAAAAAA，343536,AAAAAA，454656,AAA AAA，共 15 种.5/8 （ii）编号为56,A A的两名运动员至少有一人被抽到的结果为151625,AAAAAA，263536454656,AAAAAAAAAAAA，共 9 种，所以事件A发生的概率93()155P A.【提示】（）由题意可得抽取比例，可得相应的人数.（）（i）列举可得从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果共 15 种.（ii）事件 A 包含上述 9 个，由概率公式可得.【考点】分层抽样，概率计算.16.【答案】（）ABC中，由1cos4A，得15sin4A，由1sin3 152bcA，得24bc.又由2bc，解得64bc，.由2222cosabcbcA，可得8a，再sinsinacAC，得15sin8C.（）23157 3cos 2cos2 cossin2 sin(2cos1)sincos666216AAAAAA.【提示】（）通过三角形的面积以及已知条件求出bc，利用正弦定理求解sinC的值.（）利用两角和的余弦函数化简cos 26A，然后直接求解即可.【考点】正弦定理，余弦定理及面积公式，两角和的余弦公式.17.【答案】（）要证明EF平面11AB BA，只需证明1EFBA且EF 平面11AB BA；点EF，分别是BCAC，中点，1EFBA，EF 平面11AB BA，1BA 平面11AB BA，EF 平面11AB BA.（）因为ABACE，为BC中点，所以1AEBC，因为1AA 平面11ABCBBAA，所以1BB 平面ABC，从而1BBAE，又1BCBBB，所以1AEBCB平面，又因为AE 平面1AEA，所以平面1AEA 平面1BCB.（）取1BB中点M和1BC中点N，连结11AMAN，.因为N和E分别为1BCBC，中点，所以1112NEBBNEBB，故11NEAANEAA，所以11ANAEANAE，又因为AE 平面1BCB，所以1AN 平面1BCB，从而11AB N就是直线11AB与平面1BCB所成角，在ABC中，可得2AE，所以12ANAE，因为11BMAABMAA，所以11/AMABAMAB，又由1ABBB，有11AMBB，在11RtAMB中，可得114AB，6/8 在11RtANB中，111111sin2ANAB NAB，因此1130AB N，所以直线11AB与平面1BCB所成角为30.【提示】（）证1EFAB，由线面平行的判定定理可得.（）易证AEBC，1BBAE，可证AE 平面1BCB，进而可得面面垂直.（）取1BB中点M和1BC中点N，连接11AMANNE，易证11AB N为直线11AB与平面1BCB所成角，解三角形可得.【考点】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面所成角的大小.18.【答案】（）设 na的公比为q，nb的公差为d，由题意0q，由已知，有24232,310,qdqd消去d，得42280qq，解得22qd，所以na的通项公式为1*2nnanN，nb的通项公式为*21nbnnN，.（）由（），有1(21)2nncn，设nc的前n项和为nS，则01211 23 25 2(21)2nnSn ，12321 23 25 2(21)2nnSn ，两式相减得231 222(21)2(23)23nnnnSnn，所以(23)23nnSn.【提示】（）设出数列 na的公比和数列 nb的公差，由题意列出关于qd，的方程组，求解方程组得到 7/8 qd，的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求.（）由题意得到1(21)2nncn，然后利用错位相减法求得数列 nc的前n项和.【考点】等差、比数列的通项公式，错位相减法求和.19.【答案】（）(,0)Fc，由已知55ca及222abc，可得52acbc，又因为(0)Bb，故直线BF的斜率020()bbkcc.（）（i）设点()()()PPQQMMP xyQ xyM xy，（i）由（1）可得椭圆方程为2222154xycc，直线BF的方程为22yxc，两方程联立消去y，得2350 xcx，解得53Pcx .因为BQBP，所以直线BQ方程为122yxc，与椭圆方程联立消去y，得221400 xcx，解得4021Qcx，由=PMlMQ，及0Mx，得78MPPQMQxxxlxxx.（ii）由（i）得78PMMQ，所以777815PMPMMQ，即157PQPM，又因为7 5sin9PMBQP，所以155 5sinsin73BPPQBQPPMBQP.又因为4223PPyxcc，所以22545 502333ccBPcc，因此5 55 5,133cc，所以椭圆方程为22154xy.【提示】（）通过55e，222abc，(0)Bb，计算即得结论.（）（i）通过（），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得53pcx，利用BQBP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得4021Qcx，计算即得结论.（ii）通 过78PMMQ可 得157PQPM，利 用7 5sin9PMBQP，可 得5 53BP，通 过4223PPyxcc 计算可得1c，进而可得结论.【考点】直线的斜率，直线与椭圆的位置关系.8/8 20.【答案】（）由4()=4f xxx，可得3()44fxx，当()0fx，即1x 时，函数()f x单调递增；()0fx，即1x 时，函数()f x单调递减.所以函数()f x的单调递增区间是(1，单调递减区间是(1)，.（）设0(,0)P x，则13004,()12xfx，曲线()yf x在点P处的切线方程为00()()yfxxx，即0()()()g xfx xx，令()()()F xf xg x，即00()()()()F xf xfxxx，则0()()()F xfxfx.由于3()44fxx在(,)单调递减，所以当0()xx，时，()0F x，所以()F x在0(,)x单调递增，在0(,)x单调递减，所以对任意的实数x，0()()0F xF x，对于任意的正实数x，都有()()f xg x.（）由（）知13()124g xx，设方程()g xa的根为2x，可得132ax412.因为()g x在(,)单调递减，又由（）知222()()()g xf xag x，所以22xx.类似的，设曲线()yf x在原点处的切线为()yh x，可得()4h xx，对任意的()x ，有4()()0f xh xx，即()()f xh x，设方程()h xa的根为1x，可得14ax，因为()4h xx在(,)单调递增且111()()()h xaf xh x，因此11xx，所以13212143axxxx.【提示】（）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性.（）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程00)()()(g xfxxx，构造辅助函数()()()F xf xg x，利用导数得到对于任意实数x，有0()(0)F xF x，即对任意实数x，都有()()f xg x.（）由（）知，13()124g xx，求出方程()g xa的根2x，由()g x在()，上单调递减，得到22xx,同理得到11xx，则可证得13212143axxxx.【考点】利用导数求函数的单调性，导数的应用，导数的应用.