2013年高考文科数学重庆卷-答案.pdf

1/8 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析 一、选择题 1.【答案】D【解析】1,2A，2,3B 1,2,3AB()4UAB 【提示】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题可得:命题“对任意xR，都有20 x”的否定为“存在0 x R，使得200 x”.【提示】根据全称命题“()xMp x，”的否定是特称命题“()xMp x，”，可直接写出.【考点】全称与存在量词 3.【答案】C【解析】要使原函数有意义，则2log(2)020 xx，解得23x，或3x，所以原函数的定义域为(2,3)(3,).【提示】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于 0，分母不等于 0，建立不等式，解之即可.【考点】函数的定义域 4.【答案】B【解析】过圆心A作AQ 直线3x，与圆交于点P，此时|PQ最小，由圆的方程得到(3,1)A，半径2r，则|6 24AQQrP-.【提示】根据题意画出相应的图形，过圆心A作AQ 直线3x，与圆交于点P，此时|PQ最小，由圆的方程找出圆心A坐标与半径r，求出AQ的长，由|AQr即可求出|PQ的最小值 2/8 【考点】直线与圆的位置关系 5.【答案】C【解析】1k，21(1 1)2s ，不满足判断框中的条件，2k，21 12s ，不满足判断框中的条件，3k，2226s，不满足判断框中的条件，4k，26315s，不满足判断框中的条件，5k，215431 15s，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为5k.【提示】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果k.【考点】程序框图 6.【答案】B【解析】由茎叶图 10 个原始数据，数据落在区间22,30)内的共有 4 个，包括 2 个 22，1 个 27，1 个 29，则数据落在区间22,30)内的概率为40.410.【提示】由茎叶图 10 个原始数据数据，数出落在区间22,30)内的个数，由古典概型的概率公式可得答案.【考点】古典概型及其概率计算公式，茎叶图 7.【答案】A【解析】22280(0)(2)(4)0(0)xaxaaxa xaa，即24axa，故原不等式的解集为(2,4)aa，21515 4(2)15 6152xxaaaa，.【提示】利用因式分解法解一元二次不等式寻求a的关系后，代入求解.8.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为 2，下底长为 8，高为 4，腰长为 5，直四棱柱的高为 10，所以1=(82)4 2402S 底，10 8+10 2+2 10 520040+200240SS 侧表，【提示】该几何体是面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为 2，下底长为 8，高为 4，腰长为 5，直四棱柱的高为 10.据此可求出该几何体的表面积.【考点】由三视图求几何体的表面积.9.【答案】C【解析】2lg(log 10)lg(lg2)lg10 2lg(log 10)与lg(lg2)与互为相反数，不妨令 2lg(log 10)lg(lg2)xx，3/8 令()()4(,)f xg xa bR，即3()sing xaxbx，此函数是奇函数，故()()gxg x()()45f xg x，()1g x()()4()43fxgxg x【提示】由题设条件可得出2lg(log 10)与lg(lg2)互为相反数，再引入3()sing xaxbx，使得()()45f xg x，利用奇函数的性质即可解出它的值.【考点】函数奇偶性的性质，函数的值 10.【答案】A【解析】不妨令双曲线的方程为22221(00)xyabab，由1122|A BA B及双曲线的对称性知1212AABB，关于x轴对称，如图所示：又满足条件的直线只有一对，当直线x与轴夹角为30时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30，双曲线与直线才能有交点1212AABB，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30，则无交点，则不可能存在1122|ABA B，当直线x与轴夹角为60时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60，也满足题中有一对直线，但是如果大于60，则有两对直线，不符合题意 tan30tan60ba，即333ba22133ba；222bca，222133caa 2443e 2 323e 双曲线的离心率的范围是2 3,23【提示】由双曲线的对称性知，满足题意得这一对直线也关于x轴（或y轴）对称，又由题意知有且只有一 4/8 对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即 tan30tan60ba22133ba2222()1cbeaa 又 242 34233ee，【考点】双曲线的简单性质 二、填空题 11.【答案】5【解析】2212i125zz，|【提示】利用求模公式直接求解【考点】复数求模 12.【答案】72【解析】由等差数列的性质可得229b，解得112b，又可得111522222ab，解之可得54a，同理可得11292922c，解得292c，故29151474442ca.【提示】利用等差数列的有关知识先求出公差9275 14d再运算求解.【考点】等差数列的通项公式 13.【答案】23【解析】甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共 6 种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共 4 种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为4263【提示】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.【考点】排列、组合及简单计数问题，古典概型及其概率计算公式 14.【答案】4【解析】画出矩形草图：5/8 由于(3,1)(2,)OAOBk ，所以(1,1)ABOBOAk，在矩形中，由0OAABOA AB得，所以2()(3,1)(2,)106100OA OBOAOA OBOAkk 解得4k 【提示】由题意可得OAAB，故有0OA AB，即()0OA OBOAOA OBOA=，解方程求得 k 的值即可.【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量的坐标运算 15.【答案】50,66【解析】由题意，要使28(8sin)cos20 xx对xR恒成立 需2=64sin32cos0化简得1cos22，0又 023 或5223，解得06或56【提示】根据开口向上的二次函数定义域为R时函数值非负的条件(0)列式直接运算求解.【考点】函数恒成立问题，一元二次不等式的解法 三、解答题 16.【答案】（）由题意可得数列na是首项为 1，公比为 3 的等比数列，故可得111 33nnna ，由求和公式可得1(1 31(31)1)32nnnS（）由题意可知，12331 3913bab ，设数列 nb的公差为d，可得31102bbd，解得5d 故2020 1920 3510102T .【提示】根据等比，等差数列的通项公式及前n项和公式直接求解.【考点】等比数列、等差数列的通项公式及前n项和公式 17.【答案】（）由题意知10n，1180810niixxn，1120210niiyyn，22211720 10 880184 10 8 224nnxxixyiiiilxnxlx ynx y 又，240.320.3 80.480 xyxxlbaybxl 由此得，故所求线性回归方程为0.30.4yx（）由（）可知0.30b，即变量 y 随 x 的增加而增加，故x与y之间是正相关.6/8 （）将7x 带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.3 70.41.7y （千元）【提示】（）根据线性回归方程相关知识直接运算求解.（）由于变量y的值随x值的增加而增加(0.30)b，故x与y之间是正相关（）将7x 带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.3 70.41.7y （千元）【考点】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题 18.【答案】（）由余弦定理得22233cos222bcabcAbcbc，又因为506AA，.（）由（）得1sin2A，又由正弦定理及3a 得 11sinsinsin3sinsin22 sinaBSabCaCBCA，3coscos3(sinsincoscos)3cos()SBCBCBCBC，当3coscos212ABCBSBC，取最大值 3.【提示】（）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.（）由（）求出sin A的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取 3 变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出3coscosSBC的最大值，以及此时B的值.【考点】余弦定理，正弦定理 19.【答案】（）证明：因为BCCD，所以BCD为等腰三角形.又ACBACDBDAC，因为PA底面ABCDPABD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PAAC，都垂直，BD平面PAC（）112sin2 2 sin3223BCDSBC CDBCD .PA平面ABCD-1132 3233P BCDBCDVSPA.由7PFFC，得三棱锥-F BCD的高为18PA，故-1111132 338384F BCDBCDVSPA，所以-17244P BDFP BCDF BCDVVV【提示】（）由等腰三角形的性质可得BDACB，再由PA底面ABCDPABD，可得.再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD平面PAC.（）先解三棱锥PBCD的底面BCD的面积，再根据三棱锥PBCD的体积、PFFC和的关系求三棱锥 7/8 FBCD的高的关系式求三棱锥PBDF.【考点】线线和线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解 20.【答案】（）因为蓄水池侧面的总成本为100 2200rhrh（元），底面的总成本为2160r元，所以蓄水池的总成本为2(200160)rhr元.又根据题意220016012000rhr，2231(3004)()(3004).55hrV rr hrrr 0r，又由0h，5 3r 故函数()V r的定义域为(0,5 3)（）23()(3004)5V rr hrr，2()(300 12)5V rr，令()0V r解得15r，25r （因为不在定义域内，舍去）.当(0,5)r()0V r故()V r在(0,5)上为增函数；当(5,5 3)r，()0V r，故()V r在(5,5 3)上为减函数.由此可知，()V r在5r 处取得最大值，此时8h.即当5r，8h 时，该蓄水池的体积最大.【提示】（）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域.（）根据（）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点.【考点】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用 21.【答案】（）由题意知点(,2)Ac在椭圆上，则2222()21cab，2241eb.22e，22481be222161bae.故该椭圆的标准方程为221168xy.（）由椭圆的对称性，可设0(,0)Q x，又设(,)M x y是椭圆上任意一点，则 222222000|()28 116xQMxxyxx xx22001(2)8(4,4)2xxxx 设11(,)P x y，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式中当1xx时取最小值，又因为 8/8 1(4,4)x ，所以上式中当02xx时取最小值，从而102xx，且220|8QPx，由对称性知11(,)P xy，1|2|PPy 所以21110011|2|2 8 1|2216xSyxxx22220002(4)2(2)4xxx 当02x ，PPQ的面积S取到最大值2 2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0)，半径20|86QPx，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为22(2)6xy，22(2)6xy【提示】（）利用离心率及点在椭圆上求出椭圆的标准方程.（）设未知数表示出PPQ的面积，利用函数求最值解决.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，三角形的面积最值