2022年湖北省荆州市高考数学一模试卷(文科).docx

2022年湖北省荆州市高考数学一模试卷〔文科〕
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项正确，每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．〔3分〕集合A={x|≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}．那么A∩B=〔　　〕
A．∅ B．〔1，+∞〕 C．[1，+∞〕 D．〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕
2．〔3分〕以下函数是奇函数且在定义域内是增函数的是〔　　〕
A．y=ex B．y=tanx C．y=x3﹣x D．y=ln
3．〔3分〕角α的终边经过点P〔﹣5，﹣12〕，那么sin〔+α〕的值等于〔　　〕
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．〔3分〕假设a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，那么〔　　〕
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．〔3分〕在等差数列{an}中，假设a3+a4+a5=3，a8=8，那么a12的值是〔　　〕
A．15 B．30 C．31 D．64
6．〔3分〕函数的零点所在区间是〔　　〕
A．〔0，1〕 B．〔1，2〕 C．〔3，4〕 D．〔4，+∞〕
7．〔3分〕将函数y=sin〔2x+φ〕的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，那么φ的最小正值是〔　　〕
A． B．π C． D．2π
8．〔3分〕假设，，那么sinα的值为〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔3分〕数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，那么的值为〔　　〕
A． B．4 C．2 D．
10．〔3分〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，，sinB=2sinC，那么△ABC的面积是〔　　〕
A． B． C． D．
11．〔3分〕函数f〔x〕=〔其中e为自然对数的底数〕的图象大致为〔　　〕
A． B． C． D．
12．〔3分〕假设函数f〔x〕=mlnx+x2﹣mx在区间〔0，+∞〕内单调递增．那么实数m的取值范围为〔　　〕
A．[0，8] B．〔0，8] C．〔﹣∞，0]∪[8，+∞〕 D．〔﹣∞，0〕∪〔8，+∞〕
二、填空题：
13．〔3分〕曲线C：f〔x〕=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为．
14．〔3分〕函数f〔x〕=x3﹣x2+2在〔0，+∞〕上的最小值为．
15．〔3分〕实数x、y满足，那么z=2x﹣2y﹣1的最小值是．
16．〔3分〕等比数列{an}的公比不为﹣1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12=7S4，那么=．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．函数．
〔1〕假设f〔x〕=0，，求x的值；
〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到函数g〔x〕的图象，假设曲线y=h〔x〕与y=g〔x〕的图象关于直线对称，求函数h〔x〕在上的值域．
18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
〔1〕假设，△ABC的面积为，求c；
〔2〕假设，求2c﹣a的取值范围．
19．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an〔n∈N*〕．
〔1〕证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
〔2〕假设bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．
20．函数f〔x〕=﹣x2+ax﹣lnx〔a∈R〕．
〔1〕假设函数f〔x〕是单调递减函数，求实数a的取值范围；
〔2〕假设函数f〔x〕在区间〔0，3〕上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
21．函数．
〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性；
〔2〕假设函数f〔x〕在定义域内恒有f〔x〕≤0，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，那么按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡将所选题号后的方框途黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．
〔1〕求曲线C的普通方程；
〔2〕在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x﹣a|，不等式f〔x〕≤3的解集为[﹣6，0]．
〔1〕求实数a的值；
〔2〕假设f〔x〕+f〔x+5〕≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
2022年湖北省荆州市高考数学一模试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项正确，每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．〔3分〕集合A={x|≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}．那么A∩B=〔　　〕
A．∅ B．〔1，+∞〕 C．[1，+∞〕 D．〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕
【解答】解：∵集合A={x|≥0，x∈R}={x|x≤0或x＞1}，
B={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}．
∴A∩B={x|y＞1}=〔1，+∞〕．
应选：B．
2．〔3分〕以下函数是奇函数且在定义域内是增函数的是〔　　〕
A．y=ex B．y=tanx C．y=x3﹣x D．y=ln
【解答】解：函数y=ex，不是奇函数，不满足题意；
函数y=tanx是奇函数，但在定义域内图象是不连续的，不是增函数，不满足题意；
函数y=x3﹣x是奇函数，当x∈〔﹣，〕时，y′=3x2﹣1＜0为减函数，不满足题意；
函数y=ln是奇函数，在定义域〔﹣2，2〕上内函数为增函数，
外函数y=lnt也为增函数，故函数y=ln在定义域内为增函数，满足题意；
应选：D
3．〔3分〕角α的终边经过点P〔﹣5，﹣12〕，那么sin〔+α〕的值等于〔　　〕
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：∵角α的终边经过点P〔﹣5，﹣12〕，那么sin〔+α〕=﹣cosα=﹣=，
应选：C．
4．〔3分〕假设a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，那么〔　　〕
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：，
由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，
应选A
5．〔3分〕在等差数列{an}中，假设a3+a4+a5=3，a8=8，那么a12的值是〔　　〕
A．15 B．30 C．31 D．64
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4+a5=3，a8=8，
∴3a4=3，即a1+3d=1，a1+7d=8，
联立解得a1=﹣，d=
那么a12=﹣+×11=15．
应选：A．
6．〔3分〕函数的零点所在区间是〔　　〕
A．〔0，1〕 B．〔1，2〕 C．〔3，4〕 D．〔4，+∞〕
【解答】解：∵连续减函数，
∴f〔3〕=2﹣log23＞0，f〔4〕=﹣log24＜0，
∴函数的零点所在的区间是 〔3，4〕，
应选：C．
7．〔3分〕将函数y=sin〔2x+φ〕的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，那么φ的最小正值是〔　　〕
A． B．π C． D．2π
【解答】解：函数y=sin〔2x+φ〕的图象向右平移个周期后，
得到：y=sin[2〔x﹣〕+φ]=sin〔2x﹣+φ〕，
得到的函数的图象关于y轴对称，
那么：〔k∈Z〕，
解得：φ=kπ+π〔k∈Z〕，
当k=0时，φ=π．
应选：B．
8．〔3分〕假设，，那么sinα的值为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，
∴cosα+sinα=，可得：cosα=+sinα，
又∵sin2α+cos2α=1，可得：sin2α+〔+sinα〕2=1，整理可得：2sin2α+sinα﹣=0，
∴解得：sinα=，或﹣〔舍去〕．
应选：A．
9．〔3分〕数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，那么的值为〔　　〕
A． B．4 C．2 D．
【解答】解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，
∴=a1•a7，可得=a1〔a1+6d〕，化为：a1=2d≠0．
∴公比q====2．
那么==．
应选：A．
10．〔3分〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，，sinB=2sinC，那么△ABC的面积是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵，，sinB=2sinC，可得：b=2c．sinA==，
∴由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：8=4c2+c2﹣3c2，解得c=2，b=4．
∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=．
应选：A．
11．〔3分〕函数f〔x〕=〔其中e为自然对数的底数〕的图象大致为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：f〔﹣x〕====f〔x〕，
∴f〔x〕是偶函数，故f〔x〕图形关于y轴对称，排除B，D；
又x→0时，ex+1→2，x〔ex﹣1〕→0，
∴→+∞，排除C，
应选A．
12．〔3分〕假设函数f〔x〕=mlnx+x2﹣mx在区间〔0，+∞〕内单调递增．那么实数m的取值范围为〔　　〕
A．[0，8] B．〔0，8] C．〔﹣∞，0]∪[8，+∞〕 D．〔﹣∞，0〕∪〔8，+∞〕
【解答】解：f′〔x〕=+2x﹣m=，
假设f〔x〕在〔0，+∞〕递增，
那么2x2﹣mx+m≥0在〔0，+∞〕恒成立，
即m〔x﹣1〕≤2x2在〔0，+∞〕递增，
①x∈〔0，1〕时，只需m≥在〔0，1〕恒成立，
令p〔x〕=，x∈〔0，1〕，
那么p′〔x〕==＜0，
故p〔x〕在〔0，1〕递减，x→0时，p〔x〕→0，x→1时，p〔x〕→﹣∞，
故p〔x〕＜0，m≥0；
②x=1时，m≥0，
③x∈〔1，+∞〕时，只需m≤在〔1，+∞〕恒成立，
令q〔x〕=，x∈〔1，+∞〕，
那么q′〔x〕==，
令q′〔x〕＞0，解得：x＞2，令q′〔x〕＜0，解得：x＜2，
故q〔x〕在〔1，2〕递减，在〔2，+∞〕递增，
故q〔x〕的最小值是q〔2〕=8，
故m≤8，
综上，m∈[0，8]．
应选：A．
二、填空题：
13．〔3分〕曲线C：f〔x〕=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为　y=2x+3　．
【解答】解：∵f〔x〕=sinx+ex+2，
∴f〔x〕′=cosx+ex，
∴曲线f〔x〕=sinx+ex+2在点P〔0，3〕处的切线的斜率为：k=cos0+e0=2，
∴曲线f〔x〕=sinx+ex+2在点P〔0，3〕处的切线的方程为：y=2x+3，
故答案为y=2x+3．
14．〔3分〕函数f〔x〕=x3﹣x2+2在〔0，+∞〕上的最小值为．
【解答】解：函数f〔x〕=x3﹣x2+2在〔0，+∞〕，
可得f′〔x〕=3x2﹣2x，令3x2﹣2x=0，可得x=0或x=，当x∈〔0，〕时，f′〔x〕＜0，函数是减函数；x∈〔，+∞〕时，f′〔x〕＞0，函数是增函数，所以x=是函数的极小值也最小值，
所以f〔x〕min==．
故答案为：．
15．〔3分〕实数x、y满足，那么z=2x﹣2y﹣1的最小值是．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A〔，〕，
化目标函数z=2x﹣2y﹣1为，
由图可知，当直线过点时z取得最小值，
把点的坐标代入目标函数得，
故答案为：．
16．〔3分〕等比数列{an}的公比不为﹣1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12=7S4，那么=　3　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠±1，
∵S12=7S4，∴=7×，化为：q8+q4﹣6=0，q4=2．
那么=1+q4=3．
故答案为：3．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．函数．
〔1〕假设f〔x〕=0，，求x的值；
〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到函数g〔x〕的图象，假设曲线y=h〔x〕与y=g〔x〕的图象关于直线对称，求函数h〔x〕在上的值域．
【解答】解：=
=．
〔1〕由f〔x〕=0，得，
∴，
∴，或，k∈Z．
又∵，
∴x=或0或；
〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位，
可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1，
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到函数g〔x〕=2cosx+1，
又曲线y=h〔x〕与y=g〔x〕的图象关于直线对称，
∴=2sinx+1，
∵x∈，∴sinx∈．
故函数h〔x〕的值域为〔0，3]．
18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
〔1〕假设，△ABC的面积为，求c；
〔2〕假设，求2c﹣a的取值范围．
【解答】〔此题总分值为12分〕
解：〔1〕由三角形面积公式，，
因为，，所以a=2．〔4分〕
由余弦定理，．〔6分〕
〔2〕由正弦定理，
所以a=2sinA，c=2sinC．〔8分〕
因为．
于是．〔10分〕
因为C∈∈，
所以∈．
故2c﹣a的取值范围 为．〔12分〕
19．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an〔n∈N*〕．
〔1〕证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
〔2〕假设bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．
【解答】〔1〕证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．
∵Sn+n=2an，n∈N*，
∴当n≥2时，Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1，
两式相减得：an+1=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1+1，
∴an+1=2〔an﹣1+1〕，
∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，
那么，n∈N*；
〔2〕解：∵，
∴，
∴，
两式相减得：，
∴，
由，得，
设，
∵＞0，
∴数列{cn}为递增数列，
∵，，
∴满足不等式的n的最小值为11．
20．函数f〔x〕=﹣x2+ax﹣lnx〔a∈R〕．
〔1〕假设函数f〔x〕是单调递减函数，求实数a的取值范围；
〔2〕假设函数f〔x〕在区间〔0，3〕上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
【解答】解：〔1〕，
∵函数f〔x〕是单调递减函数，
∴f'〔x〕≤0对〔0，+∞〕恒成立，〔3分〕
∴﹣2x2+ax﹣1≤0对〔0，+∞〕恒成立，
即，
∵〔当且仅当2x=，即x=时取等号〕，
∴〔7分〕
〔2〕∵函数f〔x〕在〔0，3〕上既有极大值又有极小值．
∴在〔0，3〕上有两个相异实根，
即2x2﹣ax+1=0在〔0，3〕上有两个相异实根，〔9分〕
，
即．〔12分〕
21．函数．
〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性；
〔2〕假设函数f〔x〕在定义域内恒有f〔x〕≤0，求实数a的取值范围．
【解答】解：〔1〕，〔1分〕
当a≤0时，f'〔x〕＜0，那么f〔x〕在〔0，+∞〕上递减；〔3分〕
当a＞0时，令f'〔x〕=0，得〔负根舍去〕．〔4分〕
当f'〔x〕＞0得，；令f'〔x〕＜0，得，
∴上递增，在〔上递减．〔6分〕
〔2〕当a=0时，f〔x〕=﹣x2＜0，符合题意．〔7分〕
当a＞0时，，∵a＞0，∴，
∴，∴0＜a≤2．〔9分〕
当a＜0时，在〔0，+∞〕上递减，
且的图象在〔0，+∞〕上只有一个交点，设此交点为〔x0，y0〕，
那么当x∈〔0，x0〕时，f〔x〕＞0，故当a＜0时，不满足f〔x〕≤0．〔11分〕
综上，a的取值范围[0，2]〔12分〕
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，那么按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡将所选题号后的方框途黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．
〔1〕求曲线C的普通方程；
〔2〕在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
【解答】解：〔1〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕．
由，整理得：
普通方程为，
化简得x2+y2=2．
〔2〕由ρsin〔﹣θ〕+=0，
知，化为普通方程为x﹣y+=0
圆心到直线l的距离h=，
由垂径定理．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x﹣a|，不等式f〔x〕≤3的解集为[﹣6，0]．
〔1〕求实数a的值；
〔2〕假设f〔x〕+f〔x+5〕≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：〔1〕由f〔x〕≤3，得|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，
又f〔x〕≤3的解集为[﹣6，0]，
解得：a=﹣3； 〔5分〕
〔2〕∵f〔x〕+f〔x+5〕=|x+3|+|x+8|≥5．
又f〔x〕+f〔x+5〕≥2m对一切实数x恒成立，
∴2m≤5，
m≤〔10分〕