2014年高考理科数学大纲卷-答案.pdf

1/8 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（理科）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】10i10i(3i)3i(3i)(3i)z1030i13i10，所以1 3iz 【提示】直接由复数代数形式的除法运算化简，则 z 的共轭可求【考点】复数的基本运算 2.【答案】B【解析】2|340|14Mx xxxx ，|05Nxx即MN 0，4）【提示】用描述法给出两个集合求它们的并集【考点】交集及其运算 3.【答案】C【解析】cos55sin35b，故有sin33sin35tan35故选 C【提示】给出三个三角函数比较大小【考点】三角函数的单调性 4.【答案】B【解析】因为()aba，所以()=0ab a即2|0aa b因为|1a 即1a b 又因为(2)abb所以(2)0ab b，即22|0a bb因为1a b ，所以2|2b，|2b 【提示】给出约束条件求向量【考点】向量的基本运算.5.【答案】C【解析】从 6 名男医生中选出 2 名有2615C 种不同选法，从 5 名女医生种选出 1 名有155C 种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有15 575 种不同选法【提示】给出实际的约束条件，求出不同的组合【考点】排列组合 6.【答案】A 2/8 【解析】有椭圆的定义可得，121222AFAFaBFBFa，又因为1224 3FAFBF，所以44 3a，解得3a，所以椭圆方程为22132xy，故选 A【提示】通过椭圆的基本性质求椭圆的标准方程【考点】椭圆的简单的性质 7.【答案】C【解析】因为1exyx，所以11eexxyx，将1x 代入得1 1 12y ，故选 C【提示】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【考点】导数的几何意义 8.【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，球心为 0，222(4)(2)RR，解得94R，所以球的表面积28144SR【提示】给出四棱锥的顶点都在球上及其高和底边长，根据球的性质求其表面积【考点】球的表面积，球的性质 9.【答案】A【解析】因为12|2|F AF A，根据双曲线性质可得12|2F AF Aa，所以2|2F Aa，1|4F Aa，且由12|2FFc，因为双曲线离心率为 2，所以12|4FFa，可知22AF F为等腰三角形，根据边长之比可知211cos4AF F【提示】给出离心率和约束条件求解【考点】双曲线的性质 10.【答案】C【解析】5452aqa，413352216125aaq，128128lglglglg()aaaa aa，1281684251256252 512525521800004a aa，lg100004【提示】给出等比数列两项求变形数列的前 n 项和【考点】等比数列 11.【答案】B【解析】将 C 点移至 A 点，做EAl，由于135ACD，所以45EAD为，因为二面角l 为60，所以可令113AEDEEB，可求得2AD，2DB，2AB，易求得2cos4BAD 3/8 【提示】给出空间上的异面直线求余弦值【考点】异面直线及其所成的角 12.【答案】D【解析】()yf x与其反函数关于yx对称，因为()yg x与()yf x关于0 xy对称，所以有()ygx【提示】给出约束条件求反函数【考点】反函数 第卷 二、填空题 13.【答案】70【解析】112288(1)rrrrCxyxy由22x y，即3822r，解得4r，22x y系数为448(1)70C【提示】给出解析式利用二项式定理解得某项系数【考点】二项式定理.14.【答案】5【解析】约束条件的可行域如图ABC所示当目标函数过点 A（1，1）时，z取最大值14 15 【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值【考点】简单线性规划 15.【答案】43【解析】已知圆的圆心)(0,0O，半径2r，则(1,3)A与)(0,0O的距离为10AO 设点为 P，则2 2PA，在21Rt22 2PAO 设两切线的夹角为，所以22tan4tan1tan3PAOPAO【提示】利用圆的切线及其交点坐标求得夹角正切值【考点】两直线的夹角与到角问题 16.【答案】(,2 4/8 【解析】2()cos2sin2sinsin1f xxaxxax，令sintx，则原函数为221.ytat ,6 2x时分()f x减函数，则221ytat在1,12上是减函数，221ytat的图象开口向下，且对称轴方程为4at 142a，解得：2a，所以 a 的取值范围是(2,【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围【考点】三角函数，单调函数 三、解答题 17.【答案】135【解析】由题设和正弦定理得3sincosAC2sincos,CA3tancos2sinACC1tan3A，cos2sinCC1tan2C，tantan 180()BACtan()ACtantan1tantan1ACAC，又0180B，135B 【提示】给出约束条件利用正弦定理解求某个角度【考点】正弦定理，三角函数 18.【答案】（）0822ppQFxp（）10(103)nn【解析】（）由110a，2a为整数知，等差数列na的公差d为整数又4nSS，故4500aa，于是1030 1040dd，解得10532d，因此22(0)ypx p，故数列8p的通项公式为8PQp，0822ppQFxp（）1(133)(103)nbnn1113 103133nn，于是 1211111111113710471031333 1031010(103)nnnTbbbnnnn【提示】给出约束条件求等差数列的通项公式、给出数列求前 n 项和公式【考点】数列的求和 5/8 19.【答案】（1）1AD 平面ABC，1AD平面11AACC，平面11AACC 平面ABC，又BCACBC 平面11AACC，连结1AC，由侧面11AACC为菱形可得11ACAC，由三垂线定理可得11ACAB；（2）BC 平面11AACC，BC 平面11BBCC，平面11AACC 平面11BBCC，作11AECC，E 为垂足，可得1AE 平面11BBCC，又直线1AA平面11BBCC，1AE为直线1AA与平面11BBCC的距离，即13AE，1AC为1ACC的平分线，113ADAE，作DFAB，F 为垂足，连结1AF，由三垂线定理可得1A FAB，1AFD为二面角1AABC的平面角，由22111AAADAD可知 D 为 AC 中点，1525AFCBDBCA，11a15t nADAFDDF 二面角1AABC的大小为tan 15arc【提示】（1）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（2）做辅助线可证1AFD为二面角1AABC的平面角，解三角形由反三角函数可得【考点】空间几何中异面直线所成角、直线与平面垂直、二面角等基础知识 20.【答案】（1）0.31（2）2【解析】记1A表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2 B 表示事件：甲需使用设备 C 表示事件：丁需使用设备 D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备 E 表示事件：同一工作日 4 人需使用设备 F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 k（1）122A B CA BB CDA，0().6P B，()0.4P C，i22i0.5i0,410.2(),P AC，所以122122()()(P DP A B CA BA B CP A B CP A BP A B C 122)()()()()0.(1)3)P AP P B P CP AP BP ApCB p（2）X的可能取值为 0，1，2，3，4 0(0)()P XP B A C0()()()P B P A P C2(1 0.6)0.5(1 0.4)0.06 6/8 001(1)()P XP B A CB A CB A C0()()()P B P A P C1()()()P B P A P C 0()()()P B P A P C20.6 0.5(1 0.4)2(1 0.6)0.50.42(1 0.6)2 0.5(1 0.4)2()()()P A P B P C20.50.6 0.40.06,(3)()(4)0.25P XP DP X(2)1(0)P XP X(1)(3)(4)P XP XP X1 0.060.250.250.060.38 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06 数学期望0(0)EXP X 1(1)2(2)P XP X 3(3)4(4)P XP X 0.252 0.383 0.254 0.062 【提示】针对实际问题运用互斥事件独立事件的性质求解概率最值问题【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 21.【答案】（1）24yx（2）10 xy 或10 xy 【解析】（1）设0(,4)Q x，代入由22(0)ypx p中得08xp，所以8|PQp，0822ppQFxp，由题设得85824ppp，解得2p （舍去）或2p 所以 C 的方程为24yx（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为1xmy，(0)m代入24yx中得2440ymy，设11(,)A x y，11(,)A x y，则124yym，124y y ，故 AB 的中点为2(21,2)Dmm，2212|1|4(1)ABmyym，有直线l的斜率为m，所以直线l的方程为2123xymm，将上式代入24yx中，并整理得2244(23)0yymm.设33(,)M x y，44(,)N xy，则2343444(23)yyy ymm ，故 MN 的中点为222223,Emmm，7/8 22342214(1)21|1|mmMNyymm），由于 MN 垂直平分 AB，故 A，M，B，N 四点在同一个圆上，等价于1|2AEBEMN，从而22211|44ABDEMN，即222222224224(1)(21)4(1)22mmmmmmm，化简得210m =0，解得1m或1m，所以所求直线l的方程为10 xy 或10 xy 【提示】用已知的条件求出抛物线的标准方程、用直线的特点求出直线的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 22.【答案】（1）f x的定义域为(1,)，22(2)()(1)()x xaafxxxa（i）当12a时，若2(1,2)xaa，则()0fx,()f x在2(1,2)aa上是增函数；若2(2,0)xaa则()0fx,()f x在2(2,0)aa上是减函数；若(0,)x则()0fx,()f x在(0,)上是增函数（ii）当2a 时，()0fx,()0fx成立当且仅当0 x,()f x在(1,)上是增函数（iii）当2a 时，若(1,0)x，则()0fx，()f x在(1,0)上是增函数；若2(0,2)xaa，则()0fx，()f x在2(0,2)aa上是减函数；若2(2,)xaa，则()0fx，()f x在2(2,)aa上是增函数（2）由（1）知，当2a 时，()f x在1,是增函数 当0,x时，()(0)0f xf，即2ln(1)(0)2xxxx 又由（I）知，当3a 时，()f x在0,3上是减函数；当0,3x时，()(0)0f xf，即3ln1033xxxx 下面用数学归纳法证明2322nann.（i）当1n 时，由已知1213a，故结论成立；（ii）假设当nk时结论成立，即2322kakk 8/8 当1nk时，1ln1kkaa2ln12k22222223kkk，32132333ln(1)ln1233kkkkaakk，即当1nk时有2333kakk，结论成立.根据（i）、（ii）知对任何nN结论都成立【提示】给出函数解析式讨论其单调性，根据组合式证明其取值范围【考点】导数的意义