2014年高考理科数学北京卷-答案.pdf

1/8 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C【解析】0,2A，0,20,1,2 0,2AB，故选 C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集.【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B 中的函数在（0，1）上递减，选项 C，D 中的函数在(0,)上为减函数，所以排除 B，C，D，故选 A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1xy，其对称中心点为(1,2)，验证知其在直线 2yx上，故选 B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线.【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1 7 6 5=210S ，故选 C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101aq，时，数列na递减；当10a，数列na递增时，01q，故选 D.【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【考点】充分、必要条件，等比数列的性质 6.【答案】D【解析】可行域如图所示，当0k 时，知zyx无最小值，当0k 时，目标函数线过可行域内 A 点时 z 2/8 有最小值.联立020ykxy解得2,0Ak，故min2=0+=4zk即1=2k，故选 D.【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数.【考点】简单线性规划 7.【答案】D【解析】设顶点 D 在三个坐标平面xOy、yOz、zOx上的正投影分别为1D、2D、3D，则112ADBD，2AB，11S2 2=22，2212222OCDSS，3312222OADSS，故选 D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.【考点】空间直角坐标系 8.【答案】B【解析】假设 A、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有 3 种，因而学生数量最大为3，即 3 位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选 B.【提示】分别用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得 A，B，C 的学生各最多只有 1 个，继而推得学生的人数.【考点】排列组合数的应用 第卷 二、填空题 9.【答案】1【解析】22221i(1 i)2i11 i(1 i)(1i)2.【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果.【考点】复数代数形式的四则运算 3/8 10.【答案】5【解析】0a b=，ab，|5|51|ba.【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求|的值.【考点】向量的线性运算 11.【答案】22=1312xy 2yx【解析】设双曲线 C 的方程为224yx，将(2,2)代入得2222=3=4，双曲线 C 的方程为22=1312xy.令22=04yx得渐近线方程为2yx.【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线.【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】8【解析】7898=30aaaa，710890aaaa，8900aa，8n 时，数列na的前 n 项和最大.【提示】可得等差数列na的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论.【考点】等差数列性质 13.【答案】36【解析】3213236 2 336A A A .【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法.【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】【解析】结合图像得22326+=422T，即T.【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期 T.【考点】二次函数的图象与周期性 4/8 三、解答题 15.【答案】（1）3 314（2）37BDAC，【解析】（1）在ADC中，因为1cos7ADC，所以4 3sin7ADC.所以sinsin()BADADCB sincoscossinADCBADCB 4 31137272 3 314.（2）在ABD中，由正弦定理得3 3144 378sin3sinABBADBDADB，在ABC中，由余弦定理得 2222cosACABBCAB BCB 221852 8 5492 ，所以7AC.【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5（2）1325（3）EXx【解析】（1）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的有 5 场，分别是主场 2，主场3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.（2）设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”.则CABAB，AB，独立根据投篮统计数据，32()()55P AP B，.()()()P CP ABP AB332255551325 所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为1325.5/8 （3）EXx.【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率.【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】（1）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以ABDE.又因为AB平面 PDE，所以ABPDE平面，因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.（2）因为PA底面 ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(2,1,0)C，(0,0,2)P，(0,1,1)F，(1,1,0)BC.设平面 ABF 的法向量为(,)nx y z，则00n ABn AF，即00 xyz.令1,z，则1y .所以(0,1,1)n，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为，则1sin|cos,|2|n BCn BCn BC|.设点 H 的坐标为(,).u v w 因为点 H 在棱 PC 上，所以可设(01)PHPC，即(,2)(2,1,2)u v w，所以2,22uvw.因为n是平面 ABF 的法向量，所以0n AH，即(0,1,1)(2,22)0.解得23，所以点 H 的坐标为4 2 2,3 3 3 所以2224242333PH.【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐 6/8 标系求解.【考点】直线与平面所成的角 18.【答案】（1）由()cossinf xxxx得()cossincossinfxxxxxxx.因为在区间0,2上()sin0fxxx，所以()f x在区间0,2上单调递减，从而()(0)0f xf.（2）当0 x 时，“sinxax”等价于“sin0 xax”，“sinxbx”等价于“sin0 xbx”.令()g xsinxcx，则()cosg xxc.当0c时，()0g x 对任意0,2x恒成立.当1c 时，因为对任意0,2x，()cos0g xxc，所以()g x在区间0,2上单调递减.从而()(0)0g xg对任意0,2x恒成立.当01c时，存在唯一的00,2x，使得00()cos0g xxc.()g x与()g x在区间0,2上的情况如下：x 0(0,)x 0 x 0,2x()g x 0 ()g x 因为()g x在区间00,x上是增函数，所以0()(0)0g xg.进一步，“()0g x 对任意0,2x恒成立”当且仅当1022g，即20c.综上所述，当且仅当2c 时，()0g x 对任意0,2x恒成立；当且仅当1c 时，()0g x对任意0,2x恒成立.7/8 所以，若sinxabx对任意0,2x恒成立，则a最大值为2，b 的最小值为 1【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围 19.【答案】（1）由题意，椭圆 C 的标准方程为22142xy.所以224,2ab，从而2222cab.因此2,2ac.故椭圆 C 的离心率22cea.（2）直线 AB 与圆222xy相切.证明如下：设点 A，B 的坐标分别为00(,)xy，(,2)t，其中00 x.因为OAOB，所以0OA OB，即0020txy，解得002ytx.当0 xt时，202ty，代入椭圆 C 的方程，得2t ，故直线 AB 的方程为2x .圆心O到直线 AB 的距离2d.此时直线 AB 与圆222xy相切.当0 xt时，直线 AB 的方程为0022()yyxtxt，即0000(2)()20yxxt yxty，圆心O到直线 AB 的距离002200|2|(2)()xtydyxt.又220024xy，002ytx，故2002020204220024yxyxxdxy00420020481622xxxxx，此时直线 AB 与圆222xy相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1）12()7()8T PT P，（2）22()()T PT P（3）1()10T P，2()26T P，3()42T P，4()50T P，5()52T P 【解析】（1）1()257T P，21()1max(),24T PT P 1max7,6=8.8/8 （2）2()T Pmax,abd acd，2()T P max,cdb cab.当 m=a 时，2()T P=max,cdb cab=cdb，因为cdbcbd ，且acdcbd ，所以2()T P2()T P.当 m=d 时，2()T Pmax,cdb cabcab，因为abdcab，且acdcab 所以2()T P2()T P.所以无论ma还是md，22()()T PT P都成立.（3）数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的5()T P值最小，1()10T P，2()26T P，3()42T P，4()50T P，5()52T P 【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小.【考点】分析法和综合法