2014年高考理科数学北京卷-答案.docx

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第卷一、选择题1. 【答案】C8 / 8【解析】A =0, 2 ， AB0, 2 0,1,20, 2，故选 C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集.【考点】交集及其运算2. 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B 中的函数在（0，1）上递减，选项 C，D 中的函数在(0, +) 上为减函数，所以排除B，C，D，故选 A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【考点】对数函数的单调性与特殊点3. 【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为(x +1)2 + ( y - 2)2 =1，其对称中心点为(-1, 2) ，验证知其在直线y = -2x 上，故选 B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线.【考点】曲线的参数方程4. 【答案】C【解析】 S=1 7 65=210 ，故选 C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.【考点】循环结构5. 【答案】D【解析】当 a1 1 时，数列an 递减；当a1 0 ，数列an 递增时， 0 q 0 时，知 z = y - x 无最小值，当k 0 ，a7 + a10 = a8 + a9 0，a9 0 ， n = 8 时，数列an 的前 n 项和【提示】可得等差数列an 的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论.【考点】等差数列性质13. 【答案】363 2 3【解析】 A3 A2 A1 = 6 2 3 = 36 .【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法.【考点】乘法原理，排列数的应用14. 【答案】 T【解析】结合图像得 + 2 + = 23 - 26 ，即T .422【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期 T.【考点】二次函数的图象与周期性三、解答题15.【答案】（1） 3 314（2） BD = 3，AC = 7【解析】（1）在ADC 中，因为cosADC = 1 ，所以sin ADC = 4 3 .77所以sinBAD = sin(ADC - B)= sinADC cos B - cosADC sin B= 4 3 1 - 1 37272= 3 3 .14AB sinBAD8 3 3 （2） 在ABD 中，由正弦定理得 BD = 14 = 3 ，在ABC 中，由余弦定理得7sinADB4 3 BC cos BAC2 = AB2 + BC2 - 2AB= 82 + 52 - 2 8 5 1 = 49 ，2所以 AC = 7 .【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理16.【答案】（1）0.5（2） 1325（3） EX = x【解析】（1）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的有 5 场，分别是主场 2，主场3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.（2） 设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”， 事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”.则C = ABAB ， A，B 独立根据投篮统计数据，P( A) = 3，P(B) = 2 .55P(C) = P(AB) + P(AB) = 3 3 + 2 25555= 1325所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 13 .25（3） EX = x .【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率.【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式17. 【答案】（1）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 ABDE .又因为 AB 平面 PDE，所以 AB平面PDE ，因为 AB 平面 ABF ，且平面 ABF 平面 PDE = FG ， 所以 ABFG .（2）因为 PA 底面 ABCDE，所以 PA AB ， PA AE .如图建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(2,1,0) ， P(0,0, 2) ， F(0,1,1) ，BC = (1,1,0) .n AB = 0x = 0设平面 ABF 的法向量为n = (x, y, z) ，则n AF = 0 ，即 y + z = 0 .令 z = 1, ，则 y = -1 .所以n = (0, -1,1) ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为a ，n, BC |=| n | BC |n BC= 12则sina =| cos.设点 H 的坐标为(u,v, w).因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 PH = l PC(0 l 1) ，即(u,v, w - 2) = l(2,1, -2) ，所以u = 2l,v = l, w = 2 - 2l .因为n 是平面 ABF 的法向量，所以n AH = 0 ，即(0, -1,1) (2l,l, 2 - 2l) = 0 .2 4 2 2 解得l =，所以点 H 的坐标为 , , 3 3 3 3 4 2 2 2 4 2 3 + 3 + - 3 所以 PH = 2 .【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解.【考点】直线与平面所成的角18. 【答案】（1）由 f (x) = x cos x -sin x 得 f (x) = cos x - xsin x - cos x = -xsin x .因为在区间 0, 上 f (x) = -xsin x 0 时，“ sin x a ”等价于“ sin x - ax 0 ”，“ sin x b ”等价于“ sin x - bx 0 对任意 x 0, 恒成立.2 当 c 1 时， 因为对任意 x 0, ， g(x) = cos x - c 0 ， 所以 g(x) 在区间 0, 上单调递减. 从而2 2 g( x)g( 0 )= 对任意 x 0, 恒成立.2 当0 c g(0) = 0 .进一步，“ g(x) 0 对任意 x 0, 恒成立”当002 且仅当 g = 1- 0 ，即0 0 对任意 x 0, 恒成立；2 当且仅当c 1 时， g(x)0 对任意 x 0, 恒成立.2 所以，若a sin x b 对任意 x 0, 恒成立，则 a 最大值为 2 ，b 的最小值为 1x2 【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围2219. 【答案】（1）由题意，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.42所以a2 = 4,b2 = 2 ，从而c2 = a2 - b2 = 2 .因此a = 2, c =（2）直线 AB 与圆 x2 + y2 = 2 相切.证明如下：设点 A，B 的坐标分别为(x0 , y0 ) ， (t, 2) ，其中 x0 0 .2 .故椭圆 C 的离心率e = c =2 .a2因为OA OB ，所以OA OB = 0 ，即tx+ 2y= 0 ，解得t =- 2 y0 .当 x0000t = = t 时， y = t 2 ，代入椭圆 C 的方程，得2x0 2 2，故直线 AB 的方程为 x =.圆心O 到直线 AB 的距离d =2 .此时直线 AB 与圆 x2 + y2 = 2 相切.当 x t 时，直线 AB 的方程为 y - 2 = y0 - 2 (x - t) ，即( y- 2)x - (x- t) y + 2x- ty= 0 ，0x0 - t0000圆心O 到直线 AB 的距离d =| 2x0 - ty0 | ( y - 2)2 + (x- t)2 .00又 x 2 + 2y 2 = 4 ， t =- 2 y0 ，故d =2x + 2 y020x0x + y+ 4224 y2000x02 4+ x0 x0x04 +8 x02 +16 2 x022=，00x0此时直线 AB 与圆 x2 + y2 = 2 相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质20.【答案】（1） T1 (P) = 7，T2 (P) = 8（2） T2 (P) T2 (P)（3） T1 (P) =10 ， T2 (P) = 26 ， T3 (P) = 42 ， T4 (P) = 50 ， T5 (P) = 52【解析】（1） T1 (P) = 2 + 5 = 7 ， T2 (P) =1+ maxT1(P), 2 + 4 =1+ max7,6=8.（2） T2 (P) = maxa + b + d, a + c + d ， T2 (P) = maxc + d + b,c + a + b .当 m=a 时， T2 (P) = maxc + d + b,c + a + b = c + d + b ，因为c + d + b c + b + d ，且a + c + d c + b + d ，所以T2 (P) T2 (P) .当 m=d 时， T2 (P) = maxc + d + b,c + a + b = c + a + b ，因为a + b + d c + a + b ，且a + c + d c + a + b 所以T2 (P) T2 (P) .所以无论m = a 还是m = d ， T2 (P) T2 (P) 都成立.（3）数对序列 P (4,6) ， (11,11) ， (16,11) ， (11,8) ， (5, 2) 的T5 (P) 值最小，T1 (P) =10 ， T2 (P) = 26 ， T3 (P) = 42 ， T4 (P) = 50 ， T5 (P) = 52【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小.【考点】分析法和综合法