2014年高考理科数学北京卷-答案.docx

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷

一、选择题
1. 【答案】C

8 / 8

【解析】
A ={0, 2} ，\ A B＝{0, 2} {0,1,2}＝{0, 2}，故选 C.

【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集.
【考点】交集及其运算
2. 【答案】A
【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B 中的函数在（0，1）上递减，选项 C，D 中的函数在
(0, +¥) 上为减函数，所以排除B，C，D，故选 A.
【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.
【考点】对数函数的单调性与特殊点
3. 【答案】B
【解析】曲线方程消去参数化为(x +1)2 + ( y - 2)2 =1，其对称中心点为(-1, 2) ，验证知其在直线

y = -2x 上，故选 B.
【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线.
【考点】曲线的参数方程
4. 【答案】C
【解析】 S=1´ 7 ´ 6´5=210 ，故选 C.
【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.
【考点】循环结构
5. 【答案】D
【解析】当 a1 < 0，q >1 时，数列{an } 递减；当a1 < 0 ，数列{an } 递增时， 0 < q <1 ，故选 D.
【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【考点】充分、必要条件，等比数列的性质
6. 【答案】D
【解析】可行域如图所示，当k > 0 时，知 z = y - x 无最小值，当k < 0 时，目标函数线过可行域内 A 点时 z

ì y = 0
有最小值.联立
解得 Aæ 2 ,0ö ，故 z

=0+ 2 =4 即k = - 1 ，故选 D.

íkx - y + 2 = 0 ç k ÷
min k 2

î è ø

【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数.
【考点】简单线性规划
7. 【答案】D
2
2
2
【解析】设顶点 D 在三个坐标平面 xOy 、 yOz 、 zOx 上的正投影分别为 D1 、 D2 、 D3 ， 则 AD1 = BD1 = ， AB = 2 ，

∴ S1
= 1 ´ 2 ´ 2=2 ， S
2 2
= S△OCD
= 1 ´ 2 ´ =
2
2
2
， S3
= S△OAD
= 1 ´ 2 ´ =
2
2
，故选D.

3
【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.
【考点】空间直角坐标系
8. 【答案】B
【解析】假设 A、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有 3 种，因而学生数量最大为3，即 3 位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选 B.
【提示】分别用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得 A，B，C 的学生各最多只有 1 个，继而推得学生的人数.

【考点】排列组合数的应用

第Ⅱ卷

二、填空题
9. 【答案】 -1
ë û
æ 1+ i ö2


é (1- i)2 ù2 æ 2i ö2

è ø
【解析】ç 1- i ÷
= ê(1- i)(1+ i) ú
= ç ÷
2
è ø
= -1.

【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果.
【考点】复数代数形式的四则运算

5
10. 【答案】

【解析】
la＋b = 0 ，\la = -b ，\| l |= .

| a |
| b | = 5 =
1
5
【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求| l | 的值.
【考点】向量的线性运算
2
2
-
11. 【答案】 x y =1

3 12
y＝± 2x
y2 2



(2, 2)


22 2

【解析】设双曲线 C 的方程为 - x
4
= l ，将
代入得
4
- 2 = - 3=l ，

2
∴双曲线 C 的方程为 x
- y2
=1 .令
y2 - 2

=0 得渐近线方程为
y = ±2x .

x
3 12 4

【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线.
【考点】双曲线的简单几何性质
12. 【答案】8

【解析】最大.
a7 + a8 + a9 =3a8 > 0 ，a7 + a10 = a8 + a9 < 0 ，\a8 > 0，a9 < 0 ，∴ n = 8 时，数列{an } 的前 n 项和

【提示】可得等差数列{an }的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论.

【考点】等差数列性质
13. 【答案】36
3 2 3
【解析】 A3 A2 A1 = 6´ 2´ 3 = 36 .

【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法.
【考点】乘法原理，排列数的应用
14. 【答案】 π

T
【解析】结合图像得
 π + 2π π + π
= 2 3 - 2 6 ，即T＝π .

4 2 2

【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期 T.
【考点】二次函数的图象与周期性

三、解答题
15.【答案】（1） 3 3
14
（2） BD = 3，AC = 7
【解析】（1）在△ADC 中，因为cosÐADC = 1 ，所以sin ÐADC = 4 3 .
7 7
所以sinÐBAD = sin(ÐADC - ÐB)
= sinÐADC cos B - cosÐADC sin B
= 4 3 ´ 1 - 1 ´ 3
7 2 7 2
= 3 3 .
14
AB sinÐBAD
8´ 3 3
（2） 在△ABD 中，由正弦定理得 BD = = 14 = 3 ，在△ABC 中，由余弦定理得
7
sinÐADB 4 3

BC cos B
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB
= 82 + 52 - 2 ´ 8´ 5´ 1 = 49 ，
2
所以 AC = 7 .
【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.
【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理
16.【答案】（1）0.5
（2） 13
25
（3） EX = x
【解析】（1）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的有 5 场，分别是主场 2，主场3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.
（2） 设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”， 事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，
事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”.
则C = AB AB ， A，B 独立根据投篮统计数据，
P( A) = 3，P(B) = 2 .
5 5

P(C) = P(AB) + P(AB) = 3 ´ 3 + 2 ´ 2
5 5 5 5
= 13
25

所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 13 .
25

（3） EX = x .
【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率.
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
17. 【答案】（1）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 AB∥DE .
又因为 AB Ë 平面 PDE，所以 AB∥平面PDE ，因为 AB Ì 平面 ABF ，且平面 ABF 平面 PDE = FG ， 所以 AB∥FG .
（2）因为 PA ^ 底面 ABCDE，所以 PA ^ AB ， PA ^ AE .
如图建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(2,1,0) ， P(0,0, 2) ， F(0,1,1) ，
BC = (1,1,0) .

ìïn AB = 0
ìx = 0

设平面 ABF 的法向量为n = (x, y, z) ，则ín AF = 0 ，即í y + z = 0 .
îï î

令 z = 1, ，则 y = -1 .所以n = (0, -1,1) ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为a ，

n, BC |=
| n || BC |
n BC = 1
2
则sina =| cos .

设点 H 的坐标为(u,v, w).
因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 PH = l PC(0 < l <1) ，即(u,v, w - 2) = l(2,1, -2) ，

所以u = 2l,v = l, w = 2 - 2l .
因为n 是平面 ABF 的法向量，所以n AH = 0 ，即(0, -1,1) (2l,l, 2 - 2l) = 0 .

2 æ 4 2 2 ö
解得l = ，所以点 H 的坐标为ç , , ÷
3 è 3 3 3 ø

æ 4 ö2 æ 2 ö2 æ 4 ö2
ç 3 ÷ + ç 3 ÷ + ç - 3 ÷
è ø è ø è ø
所以 PH = = 2 .

【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐

标系求解.
【考点】直线与平面所成的角
18. 【答案】（1）由 f (x) = x cos x -sin x 得 f ¢(x) = cos x - xsin x - cos x = -xsin x .
因为在区间æ 0, π ö 上 f ¢(x) = -xsin x < 0 ，所以 f (x) 在区间é0, π ù 上单调递减，从而 f (x) £ f (0) = 0 .

ç 2 ÷
ê 2 ú

è ø ë û

（2）当 x > 0 时，“ sin x > a ”等价于“ sin x - ax > 0 ”，“ sin x < b ”等价于“ sin x - bx < 0 ”.
x x
令 g(x) = sin x - cx ，则 g¢(x) = cos x - c .
当c £ 0 时， g(x) > 0 对任意 x Îæ 0, π ö 恒成立.
ç 2 ÷
è ø

当 c ³ 1 时， 因为对任意 x Îæ 0, π ö ， g¢(x) = cos x - c < 0 ， 所以 g(x) 在区间 é0, π ù 上单调递减. 从而

ç 2 ÷
ê 2 ú

g( x)<
è ø ë û

g( 0 )= 对任意 x Îæ 0, π ö 恒成立.

ç 2 ÷
è ø

当0 < c <1时，存在唯一的 x Îæ 0, π ö ，使得 g¢(x ) = cos x


- c = 0 .

0 ç 2 ÷ 0 0
è ø

g(x) 与 g¢(x) 在区间æ 0, π ö 上的情况如下：
ç 2 ÷
è ø

x
(0, x0 )
x0
æ x , π ö
ç 0 2 ÷
è ø
g¢(x)
+
0
-
g(x)
↗

↘
因为 g(x) 在区间[0, x ] 上是增函数，所以 g(x ) > g(0) = 0 .进一步，“ g(x) > 0 对任意 x Îæ 0, π ö 恒成立”当
0 0 ç 2 ÷
è ø

且仅当 g æ π ö = 1- π ³ 0 ，即0 < c £ 2 .
ç ÷
2
2
π
è ø

综上所述，当且仅当c £ 2 时， g(x) > 0 对任意 x Îæ 0, π ö 恒成立；
π ç 2 ÷
è ø

当且仅当c ³ 1 时， g(x)<0 对任意 x Îæ 0, π ö 恒成立.
ç 2 ÷
è ø

所以，若a < sin x < b 对任意 x Îæ 0, π ö 恒成立，则 a 最大值为 2 ，b 的最小值为 1
x ç 2 ÷ π
è ø

【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.
【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围
2
2
19. 【答案】（1）由题意，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.

4 2
所以a2 = 4,b2 = 2 ，从而c2 = a2 - b2 = 2 .因此a = 2, c =

（2）直线 AB 与圆 x2 + y2 = 2 相切.证明如下：

设点 A，B 的坐标分别为(x0 , y0 ) ， (t, 2) ，其中 x0 ¹ 0 .
2 .故椭圆 C 的离心率e = c = 2 .
a 2

因为OA ^ OB ，所以OA OB = 0 ，即tx

+ 2y
= 0 ，解得t =- 2 y0 .

当 x0
0 0

0 t =
= t 时， y = t 2 ，代入椭圆 C 的方程，得
2
x0

± 2
± 2
，故直线 AB 的方程为 x = .

圆心O 到直线 AB 的距离d =
2 .此时直线 AB 与圆 x2 + y2 = 2 相切.

当 x ¹ t 时，直线 AB 的方程为 y - 2 = y0 - 2 (x - t) ，即( y


- 2)x - (x

- t) y + 2x

- ty

= 0 ，

0
x0 - t
0 0 0 0

圆心O 到直线 AB 的距离d =
| 2x0 - ty0 | ( y - 2)2 + (x
- t)2 .

0 0

又 x 2 + 2y 2 = 4 ， t =- 2 y0 ，故d =

2x + 2 y0
2
0 x0
x + y + + 4
2 2 4 y
2
0
0 0 x02
4+ x0
x0
x04 +8 x02 +16 2 x02
2
= = ，

0 0 x0

此时直线 AB 与圆 x2 + y2 = 2 相切.

【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.
【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质
20.【答案】（1） T1 (P) = 7，T2 (P) = 8
（2） T2 (P) £ T2 (P¢)
（3） T1 (P) =10 ， T2 (P) = 26 ， T3 (P) = 42 ， T4 (P) = 50 ， T5 (P) = 52
【解析】（1） T1 (P) = 2 + 5 = 7 ， T2 (P) =1+ max{T1(P), 2 + 4} =1+ max{7,6}=8.

（2） T2 (P) = max{a + b + d, a + c + d} ， T2 (P¢) = max{c + d + b,c + a + b} .
当 m=a 时， T2 (P¢) = max{c + d + b,c + a + b} = c + d + b ，
因为c + d + b £ c + b + d ，且a + c + d £ c + b + d ，所以T2 (P) ≤ T2 (P¢) .
当 m=d 时， T2 (P¢) = max{c + d + b,c + a + b} = c + a + b ，
因为a + b + d ≤ c + a + b ，且a + c + d £ c + a + b 所以T2 (P) ≤ T2 (P¢) .
所以无论m = a 还是m = d ， T2 (P) £ T2 (P¢) 都成立.
（3）数对序列 P (4,6) ， (11,11) ， (16,11) ， (11,8) ， (5, 2) 的T5 (P) 值最小，
T1 (P) =10 ， T2 (P) = 26 ， T3 (P) = 42 ， T4 (P) = 50 ， T5 (P) = 52
【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小.
【考点】分析法和综合法