2019年高考北京市理科数学卷(附答案).pdf

12B-SX-0000025-1-2-学校：_ _年_班 姓名：_ 学号：_-密封线 -密封线 -绝密绝密本科目启用前本科目启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数 学（理）学（理）（北京卷）（北京卷）本试卷满分 150 分。考试时长 150 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分（选择题 共 40 分）一、一、选择题共选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。出符合题目要求的一项。（1）已知复数 z=2+i，则z z （A）（B）35（C）3（D）（2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A）1（B）2（C）3（D）4（3）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），则点（1，0）x 13ty 2 4t到直线 l 的距离是（A）（B）（C）（D）15254565（4）已知椭圆（ab0）的离心率为，则2222 1xyab12（A）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若 x，y 满足，且 y1，则 3x+y 的最大值为|1|xy（A）7（B）1（C）5 （D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（）。已m2m152lgE1E2mkEkk 1,2知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）（B）（C）（D）1010.110.1lg10.11010.1（7）设点不共线，则“与的夹角是锐角”是“”的A,B,C（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其C:x2 y21 x y中之一（如图）。给出下列三个结论：12B-SX-0000025-3-4-曲线恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；C 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;C2 曲线所围城的“心形”区域的面积小于 3.C其中，所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分第二部分(非选择题共非选择题共 110 分分)二、填空题共二、填空题共 6 小题小题,每小题每小题 5 分，共分，共 30 分。分。(9)函数的最小正周期是 _。f(x)sin22x(10)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2=-3，S5=-10,则 a3=_.Sn 的最小值为_。(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_。(12)已知 l、m 是平面 a 外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm；ma；la以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:_。(13)设函数(a 为常数)，若 f(x)为奇函数,则 a=_；若 f(x)f(x)exaex是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 _。(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 80%。当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 _ 元：在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_。三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC 中，a=3，bc=2，cosB=12（）求 b，c 的值；（）求 sin（BC）的值12B-SX-0000025-5-6-（16）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E 为 PD 的中点，点 F在 PC 上，且13PFPC（）求证：CD平面 PAD；（）求二面角 FAEP 的余弦值；（）设点 G 在 PB 上，且判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说23PGPB明理由（17）（本小题 13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000（1000，2000大于 2000仅使用 A18 人9 人3 人仅使用 B10 人14 人1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由12B-SX-0000025-7-8-（18）（本小题 14 分）已知抛物线 C：x2=2py 经过点（2，1）（）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点（19）（本小题 13 分）已知函数321()4f xxxx（）求曲线的斜率为 1 的切线方程；()yf x（）当时，求证：；2,4x 6()xf xx（）设，记在区间上的最()|()()|()F xf xxaaR()F x 2,4大值为 M（a）当 M（a）最小时，求 a 的值12B-SX-0000025-9-10-（20）（本小题 13 分）已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项、第 im项（i1i2im），若，则称新数列为an的长度为 m 的递增12miiiaaa12miiiaaa，子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列an的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为，长度为0maq 的递增子列的末项的最小值为若 pq，求证：；0na0ma0na（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s1，且长度为 s 末项为 2s1 的递增子列恰有 2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式12B-SX-0000025-11-12-2019年年普通高等学校招生全国统一考试普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）0 （11）40（12）若，则210lml.（答案不唯一）m（13）（14）130 151(,0三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共 13 分）解：（）由余弦定理，得2222cosbacacB.222132 32bcc 因为，2bc所以.2221(2)32 32ccc 解得.5c 所以.7b（）由得.1cos2B 3sin2B 由正弦定理得.5 3sinsin14cCBb在中，B是钝角，ABC所以C为锐角.所以.211cos1sin14CC所以.4 3sin()sincoscossin7BCBCBC（16）（共14分）解：（）因为PA平面ABCD，所以PACD又因为ADCD，所以CD平面PAD（）过A作AD的垂线交BC于点M因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AEPCAP 所以.12 222 2 4,33 333 3 3PFPCAFAPPF 设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则12B-SX-0000025-13-14-即0,0,AEAF nn0,2240.333yzxyz令z=1，则1,1yx 于是=(1,1,1)n又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.3cos,|3 n pn pn p由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为33（）直线AG在平面AEF内因为点G在PB上，且，2,(2,1,2)3PGPBPB 所以.242442 2,333333 3PGPBAGAPPG 由（）知，平面AEF的法向量.=(1,1,1)n所以.4220333AG n所以直线AG在平面AEF内.（17）（共13分）解：（）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.400.4100（）X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且.93141()0.4,()0.63025P CP D所以，(2)()()()0.24P XP CDP C P D(1)()P XP CDCD()()()()P C P DP C P D=0.4（10.6）+（10.4）0.6=0.52，.(0)()()()0.24P XP CDP C P D12B-SX-0000025-15-16-所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E（X）=00.24+10.52+20.24=1.（）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得.33011()C4060P E 答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.（18）（共 14 分）解：（）由抛物线经过点，得.2:2C xpy(2,1)2p 所以抛物线的方程为，其准线方程为.C24xy 1y（）抛物线的焦点为.C(0,1)F设直线 的方程为.l1(0)ykxk由得.21,4ykxxy 2440 xkx设，则.1122,M x yN xy1 24x x 直线的方程为.OM11yyxx令，得点 A 的横坐标.1y 11Axxy 同理得点 B 的横坐标.22Bxxy 设点，则，(0,)Dn1212,1,1xxDAnDBnyy 21212(1)x xDA DBny y 2122212(1)44x xnxx21216(1)nx x.24(1)n 令，即，则或.0DA DB 24(1)0n 1n 3n 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点和.(0,1)(0,3)（19）（共 13 分）12B-SX-0000025-17-18-解：（）由得.321()4f xxxx23()214fxxx令，即，得或.()1fx232114xx 0 x 83x 又，(0)0f88()327f所以曲线的斜率为 1 的切线方程是与，()yf xyx88273yx即与.yx6427yx（）令.()(),2,4g xf xx x 由得.321()4g xxx23()24g xxx令得或.()0g x 0 x 83x 的情况如下：(),()g xg xx2(2,0)08(0,)3838(,4)34()g x()g x6A0A6427A0所以的最小值为，最大值为.()g x60故，即.6()0g x 6()xf xx（）由（）知，当时，；3a ()(0)|(0)|3MFgaaa 当时，；3a ()(2)|(2)|63MFagaa当时，.3a ()3M a 综上，当最小时，.()M a3a （20）（共13分）解：（）1，3，5，6.（答案不唯一）（）设长度为q末项为的一个递增子列为.0na1210,qrrrnaaaa由pq，得.10pqrrnaaa因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，na0ma又是的长度为p的递增子列，12,prrraaa na所以.0pmraa所以00mnaa（）由题设知，所有正奇数都是中的项.na先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m1之前（m为正整数）.na假设2m排在2m1之后.设是数列的长度为m末项为2m1的递增子列，则121,21mpppaaam na是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.121,21,2mpppaaamm na与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是中的项.na假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.na na因为2k排在2k1之前（k=1，2，m1），所以2k和不可能在21k 12B-SX-0000025-19-20-的同一个递增子列中.na又中不超过2m+1的数为1，2，2m2，2m1，2m+1，所以的长 na na度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.1(1)2222 1 122mmm 个与已知矛盾.最后证明：2m排在2m3之后（m2为整数）.假设存在2m（m2），使得2m排在2m3之前，则的长度为m+1且末项为 na2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.2m综上，数列只可能为2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.na经验证，数列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，符合条件.所以1,1,nnnann为奇数，为偶数.