2014年高考理科数学广东卷-答案.docx

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】因为，，所以.
【提示】根据集合的基本运算即可求解.
【考点】并集及其运算
2.【答案】D
【解析】，故选D.
【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，计算求得的值.
【考点】复数的四则运算
3.【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点处目标函数分别取得最大值，在点处目标函数分别取得最小值，则，故选B.

【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，进行平移即可得到结论.
【考点】简单的线性规划
4.【答案】A
【解析】，，，从而可知两曲线为双曲线.
又，故两双曲线的焦距相等，故选A.
【提示】根据的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及的大小关系即可得到结论.
【考点】双曲线的简单几何性质
5.【答案】B
【解析】A.，不满足条件.
B.，满足条件.
C.不满足条件.
D.不满足条件.
故选.
【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.
【考点】数量积表示两个向量的夹角
6.【答案】A
【解析】由图1可得出样本容量为.
抽取的高中生近视人数为，故选A.
【提示】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.
【考点】频率分布直方图，分层抽样
7.【答案】D
【解析】由，，将四条直线放入正方体中，如图所示，，，，面，满足已知条件，为平面中的任意一条直线，即可得出结论，的位置关系不确定.

【提示】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，的位置关系不确定.
【考点】直线与直线的位置关系
8.【答案】D
【解析】中元素为有序数组，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为，可取得1，2，3.
和为1的元素个数为；
和为2的元素个数为：；
和为3的元素个数为：.
故满足条件的元素总的个数为，故选D.
【提示】从条件入手，讨论所有取值的可能性，分为和为1，和为2，和为3三种情况进行讨论.
【考点】集合的元素，排列数与组合数.
二、填空题
9.【答案】
【解析】由不等式，可得，或，或.
解①求得，解②求得，解③求得.综上，不等式的解集为.
【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.
【考点】解绝对值不等式
10.【答案】
【解析】因为，所以，所求切线方程为.
【提示】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.
【考点】导数的几何意义
11.【答案】
【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个数不小于6，故所求概率为.
【提示】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论.
【考点】中位数，简单随机事件的概率
12.【答案】2
【解析】由正弦定理知，，即，，从而，.
【提示】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.
【考点】正弦定理
13.【答案】50
【解析】由题意得，，又，
所以====.
【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到，然后利用对数的运算性质化简后得答案.
【考点】等比数列的性质，数列的前n项和，对数的运算
14.【答案】
【解析】曲线即，故其直角坐标方程为：，曲线为，则其直角坐标方程为，所以两曲线的交点坐标为.
【提示】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标.
【考点】极坐标与直角坐标的互化
15.【答案】9
【解析】平行四边形中，因为，又因为，所以，.
【提示】利用，可求.
【考点】相似三角形的判定与性质
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ），
所以，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以，
所以，
，.
又，
所以，
.
【提示】（Ⅰ）由函数的解析式以及，求得的值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，根据，求得的值，再由，求得的值，从而求得的值.
【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系
17.【答案】
（Ⅰ）由题意可得=7，=2，=0.28，=0.08.
（Ⅱ）样本频率分布直方图如图所示：

（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0.2.设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为，则，
.
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0.5904.
【提示】（Ⅰ）利用所给数据，可得样本频率分布表中和的值.
（Ⅱ）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图.
（Ⅲ）利用对立事件可求概率.
【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式
18.【答案】（Ⅰ），
.
又，，
，
.
又，
，即.
（Ⅱ）设，则中，，又，
.
由（Ⅰ）知，
，，
.
又，
==，
，同理，.
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，.
设是平面AEF的法向量，则，又，
所以，令，得，.
由（Ⅰ）知平面ADF的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，==.

【提示】（Ⅰ）结合已知直线和平面垂直的判定定理可判，即得所求.
（Ⅱ）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.
【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法
19.【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ），，
又，
，.
又+，
，==.
综上知=3，=5，=7.
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想，下面用数学归纳法证明.
①当时，结论显然成立；
②假设当时，，则，
又，，
解得2，，
即当时，结论成立.
由①②知，当时，.
【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取得一个关系式，再把变为得另一个关系式，进而可求，然后把递推式中n取1，再结合可求得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.
【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）可知，又，
，4，
所以椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）设两切线为，.
①当轴或轴时，对应轴或轴，可知.
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，
得.
因为直线与椭圆相切，所以，
得，
，
，
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，
所以点P的轨迹方程为，
因为满足上式.
综上知：点P的轨迹方程为.
【提示】（Ⅰ）根据焦点坐标和离心率求得和，则椭圆的方程可求得.
（Ⅱ）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用，得出和是的两个根，再利用韦达定理得出和的关系式，即P点的轨迹方程.
【考点】椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系
21.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）的单调递增区间为和
的单调递减区间为和
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知，
，
或，
或，
或，
或或.
所以函数的定义域D为.
（Ⅱ）
，
由得，即，
或，
结合定义域知或.
所以函数的单调递增区间为，，
同理递减区间为，.
（Ⅲ）由
得，
，
，
，
或或或，
，
，，
，，
结合函数的单调性知的解集为：
.
【提示】（Ⅰ）由题意可知，又，解不等式即可求出函数的定义域.
（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.
（Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.
【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用
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