2021年新高考数学模拟试卷(11).pdf

20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（1111）一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知 AxN N*|x3，Bx|x24x0，则 AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，42（5 分）已知直线 yx+3 与圆 x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，则|AB|（）A6222B322C6D23（5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过 F2且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且12=0，若 a=3 1，则 F2的坐标为（）A（1，0）B（3，0）C（2，0）D（3+1，0）56344（5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A21B31C512D615（5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）ABCD6（5 分）诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A70B128C140第1 1页（共2121页）D1507（5 分）已知 为任意角，则“cos2=”是“sin=A充分不必要条件C充要条件1333”的（）B必要不充分条件D既不充分也不必要212，08（5 分）已知函数()=，若关于 x 的方程f（x）22af（x）+3a0|2|，0有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A(3，5)16B(3，516C（3，4）D（3，4二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5分）对任意实数x，有(2 3)901(1)2(1)23(1)39(1)9则下列结论成立的是（）Aa2144Ba01Ca0+a1+a2+a91D0 12 3 9=3910（5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019年国际原油价格高低区间的对比图下列说法正确的是（）A2008 年原油价格波动幅度最大B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小C2013 年原油价格平均值一定大于2018 年原油价格平均值D2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于20 美元/桶第2 2页（共2121页）11（5 分）已知函数 f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的最小值为 1223C直线 x=8是图象的一条对称轴D直线 x=8是图象的一条对称轴12（5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则下列选项中正确的是（）AACB1EBB1C平面 A1BD13C三棱锥 C1B1CE 的体积为D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）已知数列an的各项为正，记Sn为an的前n 项和，若1a11，则 S514（5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种15（5 分）已知二次函数f（x）的图象过点（3，5），（3，5），（0，4），则 f（x）的解析式为16（5 分）四面体 ABCD 中，ADCDBD2，CDAD，CDBD，二面角 ACDB的大小为 60，则该四面体外接球的体积为32=2()，1第3 3页（共2121页）四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）设an是等比数列，若 a12，且 2a2，a3，S36 成等差数列（1）求an的通项公式；2（2）当an的公比不为 1 时，设=2，求证：数列bn的前 n 项和 Tn14 1+118（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足2(2+22)=（）求 B；（）若 b6，求 a2+c2的最小值19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，已知BCC1=，BC1，ABC1C2，点 E 是棱 C1C 的中点（1）求证：C1B平面 ABC；（2）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为在，求出211，若存1132的值；若不存在，请说明理由20（12 分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如 147 表示2016 年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号 x年份数量 y（单位：辆）120143722015104320161474201719652018216（）若私家车的数量 y 与年份编号 x 满足线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，第4 4页（共2121页）并预测 2020 年该小区的私家车数量（）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区，并于2018 年底完成了基础设施改造，共划设了120 个停车位，由于车位有限，物业公司决定在 2019 年度采用网络竞拍的方式将这120 个车位对业主出租，租期一年，竟拍方案如下：截至 2018 年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；根据物价部门的规定，竟价不得超过 1200 元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前 120 位的业主一起报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40 位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布直方图：（1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000 元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：回归方程=b+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=1()()=1()2，=，5=1()()=450221（12 分）已知椭圆：4+2=1，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），且AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点第5 5页（共2121页）2212（）2212为定值；（）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|AB|的最大值22（12 分）已知函数 f（x）2x3+3x212x+6，g（x）为函数 f（x）的导函数（1）求证：函数 f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）记 x0为函数 f（x）在区间（1，2）上的零点设 m1，x0），函数 h（x）g（x）（mx0）f（m），判断 h（m）的符号，并说明理由；求证：存在大于 0 的常数 A，使得对任意的正整数p，q，且 1，x0），满足|x0|13第6 6页（共2121页）20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（1111）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知 AxN N*|x3，Bx|x24x0，则 AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解答】解：由题意得：AxN N*|x31，2，3，Bx|x24x0 x|0 x4，所以 AB1，2，3，故选：A2（5 分）已知直线 yx+3 与圆 x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，则|AB|（）A62B3C6D2【解答】解：由 x2+y22x2y0，得（x1）2+（y1）22圆 x2+y22x2y0 的圆心坐标为（1，1），半径为2圆心到直线 x+y30 的距离 d=|AB|=2(2)2(2)2=6故选：C3（5 分）已知双曲线222|1+13|2=2，222=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过 F2且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且12=0，若 a=3 1，则 F2的坐标为（）A（1，0）B（3，0）C（2，0）D（3+1，0）【解答】解：因为12=0，所以 AF1AF2，又因为2=3，所以AF1F2=6，则由 AF1=3c，根据双曲线的定义可得3cc2a，则 c=故选：C4（5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 和，两个零件是否64532(31)=2，31加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A21B31C512D61第7 7页（共2121页）【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品P=(1 )+(1 )=，故选：B5（5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）56345 36 413ABCD【解答】解：因为对于任意的 xR R，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B，由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D，故选：C6（5 分）诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A70B128C140D150【解答】解：由七七数时余两个，可知灯笼数除以7 余 2，则 A，C，D 错，故选：B7（5 分）已知 为任意角，则“cos2=3”是“sin=3”的（）A充分不必要条件C充要条件113B必要不充分条件D既不充分也不必要3【解答】解：若 cos2=3，则 cos21sin2，sin=3，则 cos2=3”是“sin=3”的不充分条件；第8 8页（共2121页）13若 sin=33，则 cos21sin2，cos2=，则 cos2=”是“sin=13131333”的必要条件；综上所述：“cos2=3”是“sin=3”的必要不充分条件故选：B212，08（5 分）已知函数()=，若关于 x 的方程f（x）22af（x）+3a0|2|，0有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A(3，16)5B(3，165C（3，4）D（3，4【解答】解：令 f（x）t，则 g（t）t22at+3a，作 f（x）的图象如下，设 g（t）t22at+3a 的零点为 t1，t2，由图可知，要满足题意，则需 g（t）t22at+3a 在（2，4）有两不等实根或者其中一根为 4，另一根在（2，4）内，2424(2)0(4)=01616故或，解得 3a5或 a=5(4)00(2)00即实数 a 的取值范围是：（3，故选：B二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5分）对任意实数x，有(2 3)901(1)2(1)23(1)39(1)9则下列结论成立的是（）第9 9页（共2121页）165Aa2144Ba01Ca0+a1+a2+a91D0 1+2 3+9=39【解答】解：对任意实数 x，有(2 3)90+1(1)+2(1)2+3(1)3+9(1)9=1+2（x1）9，2a2=922144，故 A 正确；故令 x1，可得 a01，故 B 不正确；令 x2，可得 a0+a1+a2+a91，故 C 正确；令 x0，可得 a0a1+a2+a939，故 D 正确；故选：ACD10（5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019年国际原油价格高低区间的对比图下列说法正确的是（）A2008 年原油价格波动幅度最大B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小C2013 年原油价格平均值一定大于2018 年原油价格平均值D2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于20 美元/桶【解答】解：由图可知，2008 年原油价格波动幅度最大，A 对；通过最高价，最低价，并不反应出平均值的大小，得不出结论，B 错；因为 2013 年原油价格最低价都比2018 年原油价格最高值大，则 2013 年原油价格平均值第1010页（共2121页）一定大于 2018 年原油价格平均值，C 对，由图可知，2016 年原油价格波动幅度均小于20 美元/桶，D 错，故选：AC11（5 分）已知函数 f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的最小值为 12238C直线 x=8是图象的一条对称轴D直线 x=是图象的一条对称轴【解答】解：f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx2cos2x+1+2sin2x，=22(2+4)+1，A：结合周期公式可得 T，故 A 正确；B：结合正弦函数的性质可知，当sin（2x+）1 时，函数取得最小值122，故 B正确；C：当 x=3时，2x+=，不符合正弦函数对称轴处取得最值的条件，故C 错误；8414D：当 x=8时，2x+4=2，符合正弦函数对称轴处取得最值的条件，故D 正确；故选：ABD12（5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则下列选项中正确的是（）AACB1EBB1C平面 A1BD13C三棱锥 C1B1CE 的体积为D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45【解答】解：如图，第1111页（共2121页）ACBD，ACBB1，AC平面 BB1D1D，又 B1E平面 BB1D1D，ACB1E，故 A 正确；B1CA1D，A1D平面 A1BD，B1C平面 A1BD，B1C平面 A1BD，故 B 正确；三棱锥 C1B1CE 的体积为11=11=111 1 1=，故 C 错误；326BDB1D1，CB1D1是异面直线 B1C 与 BD 所成的角，又CB1D1是等边三角形，异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 60，故 D 错误故选：AB三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）已知数列an的各项为正，记Sn为an的前n 项和，若1a11，则 S5121【解答】解：由1=2得：1221=32，132=2()，132122132=0，（an+1+an）（an+13an）0，数列an的各项为正数，an+13an0，1=3，数列an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，1(13)S5=13=121，5故答案为：12114（5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企第1212页（共2121页）业两两互不相邻的排法有144种【解答】解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有33中方法，在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从 4 孔位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企业，共有34种方法3由乘法原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有=334=144 种故答案为：14415（5 分）已知二次函数f（x）的图象过点（3，5），（3，5），（0，4），则 f（x）的解析式为f（x）x24【解答】解：依题意，f（3）f（3），所以二次函数 f（x）关于 x0 对称，又过（0，4），所以二次函数的解析式为f（x）ax24，又 f（3）5，9a45，解得 a1，f（x）x24故答案为：f（x）x2416（5 分）四面体 ABCD 中，ADCDBD2，CDAD，CDBD，二面角 ACDB的大小为 60，则该四面体外接球的体积为282127【解答】解：由 CDAD，CDBD，二面角 ACDB 的大小为 60可得ADB60，即三角形 ABD 为等边三角形，设三角形 ABD 的外接圆半径为 r，则 2r=60=2所以 r=2，3223，CDAD，CDBD，ADBDD，CD面 ABD，将此三棱锥放在直三棱柱中，设三棱锥的外接球的半径为R，则 R2r2+（所以外接球的体积 V=33=）2=3+1=3，所以 R=3，2472142821，27第1313页（共2121页）故答案为：282127四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）设an是等比数列，若 a12，且 2a2，a3，S36 成等差数列（1）求an的通项公式；2（2）当an的公比不为 1 时，设=2，求证：数列bn的前 n 项和 Tn14 1+1【解答】解：（1）设等比数列an的公比为 q；由 2a2，a3，S36 成等差数列，a12，2a32a2+S36，即 4q24q+2+2q+2q26，即 q23q+20，解得 q2，或 q1，所以an的通项为=2或 an2；2（2）证明：由（1）知=2，=2；4 1+1=4212=11；212+1111111Tnb1+b2+b3+bn=(13)+(35)+(212+1)=12+11，故数列an的前 n 项和 Tn118（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足2(2+22)=（）求 B；（）若 b6，求 a2+c2的最小值【解答】解：（）(+2)=，2(2+22)=22 222=(22 22)，=+=，22222222由正弦定理得=2，sinA0，222=2，2 0，第1414页（共2121页）1=，220B，=232（）法一：因为=3，b6，由余弦定理得：b2a2+c22accosB，a2+c2+ac36，2+2由基本不等式得：2（当且仅当 ac 时“”成立），a2+c224，a2+c2的最小值为 24法二：因为=2，+=，b6，336由正弦定理得：=23=43，=43，=43，(2+2=48(2+2)=48(2 2)3131212+)=48 242+22=48 24(22+22)=48 24(2+6)，0，2+66356，则(2+)1，26124a2+c236，a2+c2的最小值为 2419（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，已知BCC1=，BC1，ABC1C2，点 E 是棱 C1C 的中点（1）求证：C1B平面 ABC；（2）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为在，求出211，若存113的值；若不存在，请说明理由第1515页（共2121页）【解答】（1）证明：BC1，CC12，BCC1=3，BC1=3，BC2+BC12CC12，得 BC1BC，又 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，又 ABBCB，C1B平面 ABC；（2）以 B 为原点，BC，BC1，BA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 B（0，0，0），A（0，0，2），B1（1，3，0），A1（1，3，2），E（，213，0），C（1，0，0）233，0），11=（0，0，2）2则1=（2，设平面 A1EB1的法向量为=（x，y，z），1=2+2=0则，令 x1，求得=（1，3，0）11=2=033假设在棱 CA 上存在一点 M（a，b，c），使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为不妨设=，0，1又=（a1，b，c），=（1，0，2），1=0，M（1，0，2），=2=（，2，2），2又平面 A1B1E 的法向量为=（1，3，0），则 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为：第1616页（共2121页）211，1113|cos，|=|=3|122|(1)2232+4+4 2=211，11化简得 69238+50，解得=或=1352321111在棱 CA 上存在点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为此时=或3152320（12 分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如 147 表示2016 年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号 x年份数量 y（单位：辆）120143722015104320161474201719652018216（）若私家车的数量 y 与年份编号 x 满足线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2020 年该小区的私家车数量（）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区，并于2018 年底完成了基础设施改造，共划设了120 个停车位，由于车位有限，物业公司决定在 2019 年度采用网络竞拍的方式将这120 个车位对业主出租，租期一年，竟拍方案如下：截至 2018 年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；根据物价部门的规定，竟价不得超过 1200 元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前 120 位的业主一起报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时第1717页（共2121页）间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40 位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布直方图：（1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000 元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：回归方程=b+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=1()()=1()2，=，5=1()()=45015【解答】解：（）由表中数据，计算得=（1+2+3+4+5）3，=5（37+104+147+196+216）140，=1()()1=1()2=(2)+(1)+0+1+22450222=450=45，10=1404535故所求线性回归方程为=45x+5，令 x7，得=457+5320；（）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于1000 元的频率为：（0.25+0.05）10.3，共抽取 40 位业主，则 400.312，第1818页（共2121页）有意竞拍不低于 1000 元的人数为 12 人（ii）由题意，120216=95由频率直方图估算知，报价应该在9001000 之间，设报价为 x 百元，则（10 x）0.4+0.3=解得 x9.36至少需要报价 936 元才能竞拍成功221（12 分）已知椭圆：4+2=1，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1），B59（x2，y2），且AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点（）2+2122+212为定值；（）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|AB|的最大值2【解答】解：（）当直线 l 的斜率不存在，设 l：xm，代入椭圆方程可得y 14，22+221222由AOB 的面积为 1，可得|m|21=1，解得 m2，则22=4；2421+2212当直线 l 的斜率存在，设 ykx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t240，设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 x1+x2=81+42，x1x2=4241+422，|AB|=1+2(1+2)2 412=1+2(81+4)24(424)1+42=1+241+4221+42，1|2 1+2由AOB 的面积为 1，可得 化简可得 1+4k22t2，|AB|1，则1+2=(1+2)212=（而2+21222281+42）221+42424=4(1+82+164)(1+42)2=4，2+212=12+222(12+22)14=4，综上可得，2+2122+212为定值 4；（）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|=2，|AB|=2，则|OM|AB|2；第1919页（共2121页）当直线的斜率存在时，由（）可得x0=216 21+24=，y kx+t=0022，21+41+4则|OM|=02+02=(1+4)22 2+2(1+4)2 2=|1+161+4122，可得|OM|AB|=2=22+|1+161+421+241+4 21+422=2 9 114 302+16111，02 222可知|OM|AB|2综上，|OM|AB|的最大值为 222（12 分）已知函数 f（x）2x3+3x212x+6，g（x）为函数 f（x）的导函数（1）求证：函数 f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）记 x0为函数 f（x）在区间（1，2）上的零点设 m1，x0），函数 h（x）g（x）（mx0）f（m），判断 h（m）的符号，并说明理由；求证：存在大于 0 的常数 A，使得对任意的正整数p，q，且 1，x0），满足|x0|13【解答】解：（1）证明：由f（x）2x3+3x212x+6 得 f（x）6x2+6x126（x1）（x+2），易知函数 f（x）在（1，2）上为增函数，而f（1）f（2）1100，且函数f（x）在（1，2）上的图象不间断，函数 f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）h（m）的符号为正，理由如下：x0为函数 f（x）在区间（1，2）上的零点，f（x0）0，函数 h（x）g（x）（mx0）f（m），h（m）g（m）（mx0）f（m），则 h（m）g（m）（mx0）+g（m）f（m）g（m）（mx0）6（2m+1）（mx0），m1，x0），h（m）0，从而函数 h（m）在区间1，x0）上单调递减，h（m）h（x0）f（x0）0；第2020页（共2121页）证明：对任意的正整数 p，q，且 1，x0），令=，函数 h（x）g（x）（mx0）f（m），则 h（x0）g（x0）（mx0）f（m），记 F（m）g（x0）（mx0）f（m），则 F（m）g（x0）f（m）f（x0）f（m），当 m1，x0）时，由，（1）知，F（m）f（x0）f（m）0，F（m）在区间1，x0）上单增，故 F（m）F（x0）f（x0）0，即 h（x0）0，由（2）知，h（m）0，所以 h（m）h（x0）0，函数 h（x）在（m，x0）上存在零点，从而在1，x0）存在零点，不妨设x1为函数h（x）在1，x0）的一个零点，则(1)=(1)(0)()=(1)(0)()=0，从而 0=()(1)，由（1）知，函数 g（x）在区间1，2上单调递增，所以 0g（1）g（x1）g（2），(23+32122+63)于是|0|=|=|，(1)(2)(2)3由（1）知，函数 f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点 x0，而 1，0)，所以()0，又 p，q 为正整数，所以|2p3+3p2a12pq2+6q3|为正整数，从而|0|11=，所以存在正常数 Ag（2），满足题设|(2)3|(2)3第2121页（共2121页）