【河北省】2017学年3月百校联盟高考模拟文科数学年试题.pdf

-1-/15 河北省河北省 2017 年年 3 月百校联盟高考模拟文科数学试卷月百校联盟高考模拟文科数学试卷 答答 案案 1-5BAADB 6-10CBBAD 11C 12D 1323 14(1)(21)6n nn 15(,2)161010 17解：（）由数列 na为等差数列，公差214daa，则数列 na的通项公式，1(1)41naandn，由2133nnSb，当2n时，112133nnSb，则111212122()()333333nnnnnnnbSSbbbb，则12nnbb，当1b 时，112133bb11b，数列 nb以 1 为首项，2为公比的等比数列，数列 nb的通项公式1(2)nnb；（）1|(41)2nnnncabn，则数列 nc的前n项的和nT，215 19 213 2.(41)2nnTn，2325 29 213 2.(41)2nnTn，两式相减可得，2354(222.2)nnT，2254(41)212nnn，3 2342nnn，-2-/15(43)23nnTn，数列 nc的前n项的和(43)23nnTn 18解：（）根据频率分布直方图得：(0.010.030.02)1010.1 350.3 45 10550.2 65 10755baba，解得0.005,0.035ab（）由（）知样本年龄在70,80岁的票友共有0.05 1005人，样本年龄在60,70)岁的票友共有0.2 10020人，样本年龄在50,60)岁的票友共有0.35 10035人，样本年龄在40,50)岁的票友共有0.3 10030人，样本年龄在30,40)岁的票友共有0.1 10010人，年龄在60,70)的票友需抽取20204100人，年龄在70,80的票友需抽取2051100人（）设年龄在70,80岁的票友这A，在60,70)岁的票友为,a b c d 则从中抽取从中抽取 2 人的基本事件总数有2510nC，这两人年龄都在60,70)内的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)a ba ca db cb dc d，共 6 种，这两人年龄都在60,70)内的概率63105P 19解：（）取BE的中点O，连接OD，OF，则DOBC，FOAB，DFOABC平面平面，G的轨迹为线段DO时，FGABC平面；（）三棱柱ABCDOF的直截面的边长分别为 2，3，7，面积为12332，体积为322 3，三棱锥FODE的体积为112 3232323,多面体ABCDEF体积2 38 32 333 20解：（）由题意可知：(0,),(,0)Pb Q a，则直线PQ的方程：0aybxab，则O到直线PQ的距离2222|ababdabab，-3-/15 由以1F、2F为直径的圆O与椭圆C内切，则bc，在ODP中，根据勾股定理可知：222223()()3abbab，由22222abcb，由解得：221,2ba，椭圆的标准方程为：2212xy（）当直线AB的斜率不存在时，AB过椭圆的焦点，令1x 代入椭圆方程可得22y ，可得2|AB|2,2ABOS；当直线AB的斜率存在时，设直线1122:,(,),(,)AB ykxm A x yB x y，圆O与直线 l 相切，2|11mk，221mk 由2212ykxmxy，消去y，得222(12)4220kxkmxm，直线 l 与椭圆交于两个不同的点，222(4)4(12)(22)0kmkm，即2221mk，20k.由韦达定理可知：2121222422,1212mmxxx xkk，则22121 2|1()4ABkxxx x 222222224222 21()41121212mmkkkkkk，AOB的面积2222(1)1|212kkSABdk，-4-/15 令212(1)kt t，可得212tk，则11222ttSt 222212121222ttt 综上可得，AOB的面积的最大值为22 21解：（）()afxxbx，曲线()f x在点3(1,)2处的切线平行于x轴，3(1)2(1)0ff，即132210bba，解得2,1ab 21()2ln2f xxxx（）()f x的定义域为(0,)令()0afxxbx得20 xbxa，()f x存在极大值点0 x，且x 时，()fx，()f x存在极小值点1x，20 xbxa有两个正实数根0 x，1x，204002abab，0,0,2abba 0 x是()f x的极大值点，000()0afxxbx，即2000 xbxa，200bxxA 20242x24bbacabba，2ba，00 xa，-5-/15 2222000000000111()ln()lnln222f xxbxaxxxaaxxaxa，200000()0axafxxxx，0()f x在(0,)a上单调递增，20001311()()lnln(ln3)02222f xfaxaxaaaaaa .22解：（）直线 l 的参数方程为22()22xttyt为参数，普通方程为yx，极坐标方程为4；曲线 C 的参数方程为22cos2 22cosxy，()为参数，普通方程为22(2)(2 2)4xy，极坐标方程为22 2 cos4 2 sin60；（）设直线 l 与曲线联立，可得23 230 xx，|218 1260AB，点P的极坐标为(3 2,)2，即(0,3 2)到直线yx的距离为3 232，三角形PAB的面积16033 152 23解：（）|21|1|0 xxa，|21|1|axx，根据绝对值的几何意义可得|21|1|xx的最小值为32，32a，证明：（）由（）可知a的最大值为32k，3mn，141 141414()(14)(52)3333nmnmmnmnmnmnmn（），问题得以证明 -6-/15 河北省河北省 2017 年年 3 月百校联盟高考模拟文科数学试卷月百校联盟高考模拟文科数学试卷 解解 析析 1【考点】1E：交集及其运算【分析】解不等式得集合 A，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 A=x|x22x0=x|x0 或 x2=（，0）（2，+），B=0，4，则 AB=（2，4 故选：B【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题 2【考点】GA：三角函数线【分析】因为，所以 cossin，tan1，即可得出结论【解答】解：因为，所以 cossin，tan1，所以 bac 故选 A【点评】本题考查三角函数值的大小比较，考查学生的计算能力，比较基础 3【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：=1，zi=zi，z=+i，则复数|z|=故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意，OFE=2EOF=60，双曲线的一条渐近线的斜率为，可得结论【解答】解：由题意，OFE=2EOF=60，双曲线的一条渐近线的斜率为，b=，故选 D【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础 5【考点】3L：函数奇偶性的性质；4N：对数函数的图象与性质【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及 f（2x）=f（x）分析可得 f（2+x）=f（x），进而可得 f（4+x）-7-/15=f（x），则函数 f（x）的周期为 4；则 f（2017）=f（5504+1）=f（1）=f（1），由1x0 时，函数的解析式计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（2x）=f（x），则有 f（2+x）=f（x），则 f（4+x）=f2+（2+x）=f（2+x）=f（x），则函数 f（x）的周期为 4，f（2017）=f（5504+1）=f（1）=f（1）=log2（3）（1）+1=2，即 f（2017）=2；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，关键是求出该函数的周期 6【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，求得 的值，进而利用正弦函数的周期公式即可计算得解【解答】解：将函数 f（x）=1+sinx 的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为：y=g（x）=sin（x）+1=sin（x）+1，y=g（x）的图象的一条对称轴方程为 x=，=k+，kZ，解得：=6k+3，kZ，04，=3，可得：f（x）=1+sin3x，f（x）的最小正周期为 T=故选：C【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题 7【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可得，直观图是底面直径、高都为 4 的圆柱，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，长方体的底面为边长为 2的正方体，即可求出长方体的表面积【解答】解：由三视图可得，直观图是底面直径、高都为 4 的圆柱，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，长方体的底面为边长为 2的正方体，该长方体的表面积为=16+32，故选 B【点评】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 8【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件 T2016，即可得到 n 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得 -8-/15 n=2，x=2，y=2，s=4，T=4，执行循环体，n=3，x=4，y=4，s=8，T=12，执行循环体，n=4，x=8，y=6，s=14，T=26，执行循环体，n=5，x=16，y=8，s=24，T=50，执行循环体，n=6，x=32，y=10，s=42，T=92，执行循环体，n=7，x=64，y=12，s=76，T=168，执行循环体，n=8，x=128，y=14，s=142，T=310，执行循环体，n=9，x=256，y=16，s=272，T=582，执行循环体，n=10，x=512，y=18，s=530，T=1112，执行循环体，n=11，x=1024，y=20，s=1044，T=2156，满足条件 T2016，退出循环，输出 n 的值为 11 故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题 9【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出 k 的值，然后利用目标函数的几何意义，转化求解即可【解答】解：作出不等式，对应的平面区域，由 z=x+y，得 y=x+z 平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大为 6即 x+y=6由得 A（3，3），直线 y=k 过 A，k=3（x+5）2+y2的几何意义是可行域内的点与（5，0）距离的平方，由可行域可知，（5，0）到直线 x+2y=0的距离 DP 最小 可得（x+5）2+y2的最小值为：=5 故选：A -9-/15 【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 10【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由及即可得出点 P 为 AC 中点，点 Q 为靠近点 B 的 AB 的三等分点，从而可求出 然后根据即可求出 cosA=，从而便可求出的值【解答】解：；P 为 AC 中点；由得，；Q 为靠近 B 的 AB 的三等分点，如图所示：，；=；=-10-/15=故选 D【点评】考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式 11【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线 AB 的方程，代入抛物线方程，利用求得丨 AB 丨及中点 E，利用点斜式方程，求得 G 点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形 ABG 的面积【解答】解：作出抛物线的准线 l：x=1，设 A、B 在 l 上的射影分别是 C、D，连接 AC、BD，过 B 作 BEAC 于 E=3，则设丨 AF 丨=3m，丨 BF 丨=m，由点 A、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨 AC 丨=3m，丨 BD 丨=m 因此，RtABE 中，cosBAE=，得BAE=60 直线 AB 的倾斜角AFx=60，得直线 AB 的斜率 k=tan60=则直线 l 的方程为：y=（x1），即xy=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：3x210 x+3=0，则 x1+x2=，x1x2=1，则 y1+y2=（x11）+（x21）=，=，AB 中点 E（，），则 EG 的方程的斜率为，则 EG 的方程：y=（x），当 x=0 时，则 y=，则 G（，0），则 G 到直线 l 的距离 d=，丨 AB 丨=x1+x2+p=，则 SABG=丨 AB 丨d=，故选 C -11-/15 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题 12【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由题意可知 f（x）=g（2x）有解，即 m=lnx+在（0，+）有解，求导数，确定函数的单调性，可知 m 的范围【解答】解：数 f（x）=lnxx2与 g（x）=（x2）2+m（mR）的图象上存在关于（1，0）对称的点，f（x）=g（2x）有解，lnxx2=x2+m，m=lnx+在（0，+）有解，m=，函数在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，mln+1=1ln2 故选 D【点评】本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为 m=lnx+在（0，+）有解，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13【考点】CF：几何概型【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出使得函数 f（x）的定义域是 R 的 a 的范围，根据区间长度的比值求出满足条件的概率的值即可 -12-/15【解答】解：若 f（x）=lg（ax2ax+1）的定义域为 R，则函数 g（x）=ax2ax+10 恒成立，a=0 时，显然成立，a0 时，只需，解得：0a4，综上，a0，4），故满足条件的概率 p=，故答案为：【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查几何概型问题，是一道中档题 14【考点】8E：数列的求和【分析】由题意，在 S=（a2+b2+ab+）中，则 12+22+n2表示最下层为 n，最上层 1，则令 a=1，b=n，代入即可求出对应的结果【解答】解：由题意，在 S=（a2+b2+ab+）中，令 a=1，b=n，则 S=（12+n2+1n+）=（n+1）（2n+1）=12+22+n2 故答案为：【点评】本题考查了类比推理的应用问题，数列的前 n 项和，属于基础题目 15【考点】5B：分段函数的应用【分析】作出函数 f（x）的图象，可得最小值为 0，最大值为 2，由基本不等式可得 g（x）的最小值为 2+a，由题意可得 2+a0，解不等式即可得到所求范围【解答】解：作出函数 f（x）=的图象，可得 f（x）的最小值为 0，最大值为 2；g（x）=x+a（x0）2+a=2+a，当且仅当 x=1 取得最小值 2+a 由存在唯一的 x0，使得 h（x）=minf（x），g（x）的值 -13-/15 为 h（x0），可得 2+a0，解得 a2 故答案为：（，2）【点评】本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题 16【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理可得：3b2+7c2=2bcsinA+2a2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，化为：2（sinA2cosA）=+，再利用基本不等式的性质即可得【解答】解：3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理可得：3b2+7c2=2bcsinA+2a2，a2=，又 a2=b2+c22bccosA，=b2+c22bccosA，化为：2（sinA2cosA）=+2=2，当且仅当 b=c 时取等号 即 2sin（A）2，其中 tan=2，sin=，cos=即 sin（A）1，又 sin（A）1，sin（A）=1 A=+2k，即 A=+2k，kN*sin（A+）=cos=故答案为：【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（）由 d=a2a1=4，利用等差数列通项公式即可求得数列an通项公式，则 bn=SnSn1，则 bn=-14-/15 2bn1，由等比数列通项公式即可求得bn的通项公式；（）由（）可知：cn=（4n+1）2n1，利用错位相减法即可求得数列cn的前 n 项的和 Tn【点评】本题考查等差数列及等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的前 n 项和，考查计算能力，属于中档题 18【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图【分析】（）根据频率分布直方图的性质列出方程组，能求出 a，b（）根据频率分布直方图的性质年龄能求出在60，70）的票友和年龄在70，80的票友需抽取的人数（）设年龄在70，80岁的票友这 A，在60，70）岁的票友为 a，b，c，d，则从中抽取从中抽取 2 人的基本事件总数有 n=10，利用列举法能求求出这两人年龄都在60，70）内的概率【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 19【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）取 BE 的中点 O，连接 OD，OF，则 DOBC，FOAB，可得平面 DFO平面 ABC，即可得出结论；（）利用分割法，求多面体 ABCDEF 体积【点评】本题考查线面平行的判定，考查几何体体积的计算，正确分割是关键 20【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线 PQ 的方程：ay+bxab=0，则 O 到直线 PQ的距离 d=，由以 F1、F2为直径的圆 O 与椭圆 C 内切，则 b=c，由此能求出椭圆的标准方程（）讨论直线 AB 的斜率不存在，求得ABO 的面积，若存在设直线 AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），由圆 O 与直线 l 相切，得 m2=k2+1由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出AOB 的面积的最大值【点评】本题主要考查椭圆的概念和性质，直线和椭圆的位置关系，圆的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题 21【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（I）令 f（1）=，f（1）=0 即可解出 a，b，得出 f（x）的解析式；（II）根据 f（x）有极大值点可得 f（x）也有极小值点，利用二次函数的性质列出不等式组得出 a，b 的范围和关系，求出 x0的范围，化简得 f（x0）=x02+alnx0a，求出右侧函数在 x0的范围内恒小于 0 即可 【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性、函数极值的关系，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大 -15-/15 四、选做题从四、选做题从 22、23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】22【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）求直线 l 以及曲线 C 的普通方程，可得相应极坐标方程；（）设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求出|AB|，P 到直线 y=x 的距离，即可求三角形 PAB 的面积【点评】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 五、解答题（共五、解答题（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）【选修分）【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】23【考点】7F：基本不等式；R4：绝对值三角不等式【分析】（）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到 a 的范围，（）由（）可得 m+n=3，则（+）=（+）（m+n）=（1+4+），根据基本不等式即可证明【点评】本题考查绝对值的几何意义，不等式的证明，考查计算能力