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全等三角形常见辅助线作法
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【知识导图】

【导学】全等三角形

第一部分:知识点回顾
常见辅助线得作法有以下几种:
1) 遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”.
2) 遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转”.
3) 遇到角平分线,可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.
4) 过图形上某一点作特定得平分线,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法,具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将某条线段延长,就是之与特定线段相等,再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.
特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时,常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来,利用三角形面积得知识解答.
第二部分:例题剖析
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD得取值范围就是_________、
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证:AD平分∠BAE、

二、截长补短
1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CD⊥AC

2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB＝AC+BD
3、如图,已知在内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别就是,得角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP

4、如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,
求证:
5、如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上任意一点,求证;ABAC＞PBPC

应用:

三、平移变换
例1 AD为△ABC得角平分线,直线MN⊥AD于A、E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为、求证＞、
例2 如图,在△ABC得边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE、

四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC得角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F、
(1)说明BE=CF得理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE得长、

五、旋转
例1 正方形ABCD中,E为BC上得一点,F为CD上得一点,BE+DF=EF,求∠EAF得度数、
例2 如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则得周长为 ;

例3 设点E、F分别在正方形ABCD得边BC、CD上滑动且保持∠EAF=450,
AP⊥EF于点P,
（1） 求证:AP=AB。(2)若AB=5,求ΔECF得周长。
变式练习1、如图所示,正方形ABCD得BC边上有一点E,∠DAE得平分线交CD于F,试用旋转得
思想方法说明AE=DF+BE. 　　　　　　　　　　　

3、(1)如图11－1,△ADE中,AE=AD且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB分别平分∠AED、∠ADE,交AD、AE于点C、B,连接BC.请您判断AB、AC就是否相等,并说明理由;
图11－1
图11－2
O
(2)△ADE得位置保持不变,将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2得位置,AD、BE相交于O,请您判断线段BE与CD得关系,并说明理由.
【课后作业】
1、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l得垂线AE、BF,E、F为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:EF＝AE＋BF.
(2)如图,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请您探究直线l在如下位置时,EF、AE、BF之间得关系.
①AD＞BD;②AD＝BD;③AD＜BD.

2、如图3,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CD,BF⊥CD,AB交CD于E、
求证:DF=CDAD、
3、如图,已知AC=BC,∠ACB=90°,D为AB上任意一点,AE⊥CD延长线于E,BF⊥CD于F、求证:EF=BFAE、
4.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点,AF⊥CD交CDA
C
F
D
E
BB
得延长线于F,BE⊥CD
于E、求证:EF=BE—AF

5、如图,AD为△ABC得中线,∠ADB与∠ADC得平分线分别交AB、AC于点E、F.
求证:BE+CF＞EF.