必修二垂直证明常见模型及方法.doc

垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） 等腰（等边）三角形中的中线 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1 在正四面体ABCD中，求证变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知证明：；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分别沿折起，使两点重合于.求证:；变式3如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 证明：ABPC类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：变式1：在正方体中，,求证：变式2：如图：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD平面A1ABB1；DACOBE变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面 利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：ABCDEF类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直) 例1 如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；例2 如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明； （2）证明平面；变式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=2（1）求证：平面AEF平面AACC；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： bM bM.其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 ( )A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直； 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，则下面正确的结论是 ( )A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，为平面，且l，给出下列命题 若m，则ml；若ml，则m；若m，则ml；若ml，则m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活第12题图11.如图所示，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，则ABC的面积是 . 第11题图第13题图12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.(1)求证:VCAB;(2)若二面角EABC的大小为30,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45，求证：MN平面PCD.16.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD60，AB4，AD2，侧棱PB，PD.(1)求证：BD平面PAD. (2)若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M 18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.(1)求证：NP平面ABCD. 第18题图(2)求平面PNC与平面CCDD所成的角.(3)求点C到平面DMB的距离.线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 过a上任一点作直线bb,则a，b确定的平面与直线b平行.5.A依题意,m且m,则必有,又因为l=则有l,而m则lm,故选A.6.D过P作PDAB于D，连CD，则CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 设正三角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC与面ABC所成角为60.15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，则有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB4，AD，BAD60，第16题图解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，连PF，则PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小为arctan.17.连结AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1MAC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂线定理知AB1A1M. 点评：要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.(1)证明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即为所求二面角的大小.(3)由已知棱长为a可得，等腰MBC面积S1，等腰MBD面积S2，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为，9