必修二垂直证明常见模型及方法.doc

垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；
基础篇
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）

等腰（等边）三角形中的中线

菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形
1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。

例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：

（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）
例1 在正四面体ABCD中，求证

变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知．
证明：；

变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于.
求证:；

变式3如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º证明：AB⊥PC

类型二：线面垂直证明
方法 利用线面垂直的判断定理
例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：
变式1：在正方体中，,求证：
变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.
求证：CD⊥平面A1ABB1；

D
A
C
O
B
E

变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
求证：平面BCD；

变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，

，，平面．，，，
求证：平面

利用面面垂直的性质定理
例3：在三棱锥P-ABC中，,，。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：
A
B
C
D
E
F
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
例1 如图，已知平面，平面，△为等边三角形，
，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；

例2 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（1）证明； （2）证明平面；

变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．
（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；

举一反三
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
① ② ③b∥M ④b⊥M.
其中正确的命题是 ( )
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )
A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )
A.1 B.2 C. D.
7.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合
B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合
C.α与β必相交且交线m与d一定不平行
D.α与β不一定相交
9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，
其中真命题的序号是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.
其中正确的命题是 ( )
A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②

二、思维激活

第12题图
11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是 .

第11题图

第13题图

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.
(1)求证:VC⊥AB;
(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC
所成角的大小.

15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝，PD＝.
(1)求证：BD⊥平面PAD.
(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.

第18题图
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
(3)求点C到平面D′MB的距离.

线面垂直习题解答

1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.
2.C 由线面垂直的性质定理可知.
3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.
4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.
5.A依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.
6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=，，
∴PD=.
7.D 由定理及性质知三个命题均正确.
8.A 显然α与β不平行.
9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.
10.B ∵α∥β，l⊥α∴l⊥m
11.cm2 设正三角A′B′C′的边长为a.
∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，
又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．
S△A′B′C′=cm2．
12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.
14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,
∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,
∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.
(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,
∴AB⊥面DEC.
∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，
∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,
∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,
∴VC与面ABC所成角为60°.
15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，
则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.

第15题图解
∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，E为PD的中点.
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD.
16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

第16题图解
故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×＝12.
又AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝，
∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，
∴BD⊥平面PAD.
(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.
∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，
又PE平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.
∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝.
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.
又EF＝BD＝，在Rt△PEF中，
tan∠PFE＝.
故二面角P—BC—A的大小为arctan.
17.连结AC1，∵.
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，
∴∠AC1C=∠MA1C1，
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.
∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.
由三垂线定理知AB1⊥A1M.
点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立．
18.(1)证明：在正方形ABCD中，
∵△MPD∽△CPB，且MD＝BC，
∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.
又已知D′N∶NB＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，
∴NP⊥平面ABCD.
(2)∵NP∥DD′∥CC′，
∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.
又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，
∴∠MCD为该二面角的平面角.
在Rt△MCD中可知
∠MCD＝arctan，即为所求二面角的大小.
(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝，设所求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为，
∴

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