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2024/8/28 周三1P128 习题习题4.4 5(1)(3).6(2)(3).作业作业复习复习 P97114预习预习 P115128 2024/8/28 周三2一、一、幂级数的简单应用幂级数的简单应用第十四讲第十四讲 幂级数的应用、幂级数的应用、傅里叶级数傅里叶级数二、二、傅立叶级数傅立叶级数2024/8/28 周三3一、幂级数的简单应用一、幂级数的简单应用 函数函数f(x)的幂级数展开的幂级数展开 级数求和级数求和 求函数在区间上的近似多项式求函数在区间上的近似多项式 求函数的近似值求函数的近似值 求积分的近似值求积分的近似值 求极限求极限2024/8/28 周三4（一）初等函数的幂级数展开式（一）初等函数的幂级数展开式2024/8/28 周三52024/8/28 周三62024/8/28 周三7利用逐项积分性质利用逐项积分性质,得到得到即即2024/8/28 周三8利用逐项微分性质利用逐项微分性质,得到得到2024/8/28 周三9作变量代换作变量代换:2024/8/28 周三10再利用逐项积分性质再利用逐项积分性质,得到得到2024/8/28 周三11展开展开变量还原变量还原2024/8/28 周三122024/8/28 周三13交错级数交错级数收敛速度太慢！（二）幂级数的其他应用（二）幂级数的其他应用152024/8/28 周三142024/8/28 周三152024/8/28 周三16奇数阶乘逐项求导逐项求导,得到得到2024/8/28 周三172024/8/28 周三182024/8/28 周三192024/8/28 周三20 傅立叶级数历史上是由于研究傅立叶级数历史上是由于研究周期现象周期现象的的需要而产生的需要而产生的,现在傅立叶级数已经成为表示现在傅立叶级数已经成为表示和研究函数的有效工具。和研究函数的有效工具。在许多实际问题中在许多实际问题中,常常会遇到周期现象。常常会遇到周期现象。例如弹簧的自由振动、交流电的电流和电压、例如弹簧的自由振动、交流电的电流和电压、构件在周期性外力作用下发生的振动等。构件在周期性外力作用下发生的振动等。二、傅立叶级数二、傅立叶级数2024/8/28 周三21 以以T为周期为周期,最简单的周期运动是简谐振动最简单的周期运动是简谐振动,通常用正弦函数表示：通常用正弦函数表示：一般周期函数可表示为简单周期函数的一般周期函数可表示为简单周期函数的叠加叠加2024/8/28 周三22（一）正交函数系（一）正交函数系2024/8/28 周三232024/8/28 周三242024/8/28 周三252024/8/28 周三262024/8/28 周三272024/8/28 周三282024/8/28 周三29容易验证三角函数系容易验证三角函数系2024/8/28 周三30（二）周期函数的傅立叶级数（二）周期函数的傅立叶级数2024/8/28 周三311.周期为周期为2 函数的傅立叶级数函数的傅立叶级数2024/8/28 周三322024/8/28 周三33傅傅立立叶叶系系数数收敛性待讨论！收敛性待讨论！2024/8/28 周三342.傅立叶级数的收敛性傅立叶级数的收敛性2024/8/28 周三352024/8/28 周三362024/8/28 周三372024/8/28 周三382024/8/28 周三392024/8/28 周三402024/8/28 周三41四、正弦级数与余弦级数四、正弦级数与余弦级数2024/8/28 周三422024/8/28 周三432024/8/28 周三442024/8/28 周三452024/8/28 周三462024/8/28 周三47