高中数学214函数奇偶性1新人教B版必修1.pptx

学习目标学习目标v1.理解函数理解函数奇偶性的定义奇偶性的定义，掌握用定，掌握用定义义判断和证明函数的奇偶性判断和证明函数的奇偶性；v2.探究并归纳函数奇偶性的判断及其探究并归纳函数奇偶性的判断及其他们的他们的图像特征图像特征；v3.激情投入、高效学习，体会激情投入、高效学习，体会特殊性特殊性与一般性与一般性的关系。的关系。y=x2-xx当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)函数图函数图函数图函数图像关于像关于像关于像关于y y轴对称轴对称轴对称轴对称这样的函数我们称之为偶函数这样的函数我们称之为偶函数这样的函数我们称之为偶函数这样的函数我们称之为偶函数函数图函数图函数图函数图像关于像关于像关于像关于原点原点原点原点对对对对称称称称这样的函数我们称之为奇函数这样的函数我们称之为奇函数这样的函数我们称之为奇函数这样的函数我们称之为奇函数如何用数学语言表述函数图象关于如何用数学语言表述函数图象关于y轴轴和原点对称呢？和原点对称呢？偶函数定义：偶函数定义：如果对于函数如果对于函数如果对于函数如果对于函数(x)(x)定义域内定义域内定义域内定义域内的的的的任意任意任意任意一个一个一个一个x x，都有都有都有都有(-x)=x)=(x)(x)成立，则称函数成立，则称函数成立，则称函数成立，则称函数(x)(x)为为为为偶函数偶函数偶函数偶函数.图象关于图象关于Y轴轴对称对称奇函数定义：奇函数定义：如果对于函数如果对于函数如果对于函数如果对于函数(x)(x)定义域内定义域内定义域内定义域内的的的的任意任意任意任意一个一个一个一个x x，都有都有(-x)=x)=(x)(x)成立成立,则称函数则称函数则称函数则称函数(x)(x)为为为为奇函数奇函数奇函数奇函数.图象关于图象关于原点原点对称对称函数的奇偶性函数的奇偶性问题问题1：奇函数、偶函数的定义中有奇函数、偶函数的定义中有“任任意意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？一个性质？与单调性有何区别？强调定义中强调定义中“任意任意”二字，说明函二字，说明函数的奇偶性数的奇偶性是是在定义域上的一个在定义域上的一个整体性质整体性质，它不同于函数的单调性它不同于函数的单调性.问题问题2：x与与x在几何上有何关系？具有在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇偶性的函数的定义域有何特征？奇函数与偶函数的奇函数与偶函数的定义域定义域的特征是的特征是关于关于原点对称原点对称.如果一个函数是如果一个函数是奇函数奇函数，则这个函数的，则这个函数的图象图象是是以坐标原点为对称中心的中心对称图以坐标原点为对称中心的中心对称图形形.反之，如果一个函数的图象是以坐标原点反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数奇函数.如果一个函数是如果一个函数是偶函数偶函数，则它的图，则它的图象象是是以以y轴为对称轴的轴对称图形轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一；反之，如果一个函数的图象关于个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是轴对称，则这个函数是偶偶函数函数.2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数图象的对称性图象的对称性对于定义在对于定义在R上的函数上的函数f(x)，下列判断是否正确？，下列判断是否正确？若若f(2)=f(2)，则函数，则函数f(x)是偶函数是偶函数若若f(2)f(2)，则函数，则函数f(x)不是偶函数不是偶函数错错。不满足不满足任意性任意性对对。例例1.判断判断下列下列函数奇偶性函数奇偶性.该函数是偶函数该函数是偶函数该函数是奇函数该函数是奇函数该函数是非奇非偶函数该函数是非奇非偶函数该函数是非奇非偶函数该函数是非奇非偶函数定义域不关于原点对称的定义域不关于原点对称的定义域不关于原点对称的定义域不关于原点对称的函数都是非奇非偶函数函数都是非奇非偶函数函数都是非奇非偶函数函数都是非奇非偶函数1判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：练习：练习：该函数是奇函数该函数是奇函数该函数是偶函数该函数是偶函数该函数是非奇非偶函数该函数是非奇非偶函数该函数是偶函数该函数是偶函数(4)(7)(8)(偶偶)2.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(2)f(x)x2；(3)h(x)x31；(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；(奇奇)练练习习(非奇非偶非奇非偶)(偶偶)(奇奇)(偶偶)(非奇非偶非奇非偶)3.判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(错错)(对对)(错错)(对对)练练习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则轴对称，则这个函数为偶函数这个函数为偶函数.5.如果函数如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的为定义域相同的偶函数，试问偶函数，试问F(x)f(x)g(x)是不是是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？偶函数？是不是奇函数？为什么？4.如果如果f(0)a0，函数，函数f(x)可以是奇函可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？数吗？可以是偶函数吗？为什么？练练习习(不能为奇函数但可以是偶函数不能为奇函数但可以是偶函数)(是偶函数是偶函数)6.如图如图，给出了奇函数，给出了奇函数yf(x)的局部的局部图象，求图象，求f(4).xyO42xyO3217.如图如图，给出了偶函数，给出了偶函数yf(x)的局部的局部图象，试比较图象，试比较f(1)与与 f(3)的大小的大小.练练习习例.已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)=-f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0.这样的函数有多少个呢？1、函数的、函数的奇偶性奇偶性分类分类：奇函数奇函数 偶函数偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,x A，定，定义域义域A是关于原点对称的非空数集。是关于原点对称的非空数集。既奇又偶函数有无数多个。既奇又偶函数有无数多个。课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结：如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x x图象关于原点对称图象关于原点对称图象关于原点对称图象关于原点对称(-x)=x)=(x)(x)奇函数奇函数奇函数奇函数(-x)=x)=(x)(x)图象关于图象关于图象关于图象关于y y轴对称轴对称轴对称轴对称偶函数偶函数偶函数偶函数练习1.若奇函数在原点有定义，奇函数在原点有定义，则则f(0)=?0练习2.判断 的奇偶性？定义域是定义域是0，f(x)=0,是既奇又偶函数是既奇又偶函数。奇偶函数的单调性奇同偶异奇同偶异例例1已知函数已知函数y=f(x)在在R上是奇函数，而且上是奇函数，而且在（在（0，+）上是增函数，）上是增函数，证明证明y=f(x)在（在（-，0）上也是增函数）上也是增函数.答案：答案：（1）非奇非偶（定义域关于原点不对称）非奇非偶（定义域关于原点不对称）.（2）奇函数）奇函数.小结1、单调性：、单调性：定义域某区间，是函数的局部性质定义域某区间，是函数的局部性质 奇偶性：奇偶性：整个定义域，整个定义域，是函数的整体性质是函数的整体性质2、判断奇偶性的、判断奇偶性的步骤和方法步骤和方法（1）定义法：）定义法：定义域是否关于原点对称？f(x)与f(-x)的关系？（2）图像法：）图像法：（3）性质法：）性质法：练习2.设f(x)是奇函数，而且在（0，+）上是减函数，证f(x)在（，0）上是减函数。练习1.设f(x)是偶函数，而且在a,b上是减函数，证f(x)在-b,-a上是增函数。(其中0ab)作业作业练习练习8.设设f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是奇函数，是奇函数，且且求函数求函数f(x)，g(x)的解析式；的解析式；