立体几何之内切球与外接球求法(经典习题).doc

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圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题
1. （2007 天津理? 12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1， 2，3，则此球的表面积为．
答案 14π
2. （2006 山东卷） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶ 3 B. 1∶ 3 C. 1∶ 3 3 D. 1∶ 9
答案 C
3. 已知正方体外接球的体积是

32
3

，那么正方体的棱长等于（ ）
2 3 4 2 4 3
A.2 2 B.
C. D.
3 3 3
2 3
4. (吉林省吉林市 2008 届上期末 )设正方体的棱长为
，则它的外接球的表面积为（ ）
3

A ．

8
3

B．2π C． 4π D．

4
3
答案 C
5. （ 2007 全国Ⅱ理? 15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四
2. 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为cm
答案 2 4 2
6. （2008 海南、宁夏理科） 一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
则这个球的体积为．

9
8

，底面周长为3，
4
答案
3
7．（2012 辽宁文）已知点 P,A,B,C,D 是球 O表面上的点 ,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD是边长为2 3 正方
形. 若 PA=2 6 , 则△OAB的面积为______________.
二、锥体的内切球与外接球
8. （辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考 ）
棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形 ( 正四面体的截面 ) 的面积是 . 答案 2
P
9. （ 2006 辽 宁 ） 如图， 半 径为2 的 半 球 内 有 一 内 接 正 六 棱 锥
P A B C D E，F则此正六棱锥的侧面积是 ________．
C
D
答案 6 7
B
E
A
F
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7. （陕西理? 6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上， 其中底面的三个顶点在该球的一个大
圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A．

3 3 B ．
4

3 C ．
3

3 D ．
4

3
12
答案 B
8. （2009 枣庄一模） 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）
A ．3 B． 2

C．

16
3

D．以上都不对
答案 C
12．正三棱柱 ABC A1B1C1内接于半径为 2的球，
若 ABC的边长为2 2，则正三棱柱的体积为 ．答案 8
2014 高三补充题：
（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8, h，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，这个球面的
表面积为 100 ，则 h ________ （答： 2 5 ）
（2）三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 4 的球面上，且三条侧棱
两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为 __________( 答案： 32)
（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是 . （答： 16 ）
0 BAC 0 BC
（4）在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱 AA1垂直底面， ACB 90 , 30 , 1,

且三棱柱

ABC A1B C 的体积为 3，则三棱柱 ABC A1B1C1的外接球表面积为 ______（答：16 ）
1 1
(5) 在四面体 ABCD中， AB CD 6, AC BD 4, AD BC 5,

则四面体 ABCD的外接球表面积为 ______( 答：即长方体的外接球表面积：

77
2

)
（6）四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 4 2 的正方形，侧棱长都等于 4 5 ，则经过该棱锥五个顶点的
球面面积为 ________（答： 100 ）
（7）正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 1，此时四面体 ABCD

外接球表面积为 ______( 答：

13
3

)
（ 8 ） 已 知 O 的 直 径 PQ 4, A, B,C 是 球 O 球 面 上 的 三 点 ， ABC 是 正 三 角 形 ， 且
0
APQ BPQ CPQ 30 , 则三棱锥 P ABC 的体积为（ B ）
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A.

3 3 9 3 3 3
B. C.
4 4 2

D.

27
4

3
(9)( 长春第四次调研试题 ) 已知空间 4 个球，它们的半径分别为 2,2,3,3 ，，每个球都与其他三个球外切，
另有一个小球与这 4 个球都外切，则这个小球的半径为（ B ）

A.

7
11

B.

6
11

C.

5
11

D .

4
11
（10）（辽、哈、东北师大一联模）球 O 的球面上有四点 S, A, B,C, 其中 O, A, B,C 四点共面， ABC 是
边长为 2 的正三角形，面 SAB 面 ABC , 则棱锥 S ABC 的体积的最大值为（ D ）

A. 3 B.

1
3

C.

3
2

D.

3
3
(11) （快乐考生预测卷一）已知正方体

ABCD A1B C D 的各顶点都在同一个球面上，若四面体
1 1 1
A B1CD 的表面积为 8 3， 则球的体积为 _________ （答： 4 3 ）
1
(12) （快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长

为２锐角６０

0 的菱形，则此几何体的内切球表面积为（ ）
A. 8 B. 4 C. 3 D. 2
（ 13 ）（ 快 乐 考 生 预 测 卷 五 ） 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB BC 0 ，
2 2
2 AB BD 6，若将 ABD 沿 BD折成直二面角 A BD C ，则三棱锥 A BCD 外接球的表
面积为 ________ （答：６ ）
（14）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为４的球 O 的球面上，且 AB 6, BC 2 3,则棱锥 O ABCD
的体积为 ________ （答： 8 3 ）
(15)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上， AB BC 2, AC 2,若四面体 ABCD 体积的最大值为

2
3

，则这
个球的表面积为 (答： C)

A.

125
6

B. 8 C

25
4

D.

25
16