立体几何综合大题20道(理).doc

立体几何综合大题（理科）40道及答案1、四棱锥中,底面, .()求证:平面；()若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。【答案】()证明:因为BC=CD，即为等腰三角形，又,故.因为底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，故平面。()解：.由底面知. 由得三棱锥的高为,故：2、如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，平面 平面，且，分别为和的中点（）证明：平面；（）证明：平面平面；（）求四棱锥的体积O【答案】（）证明：如图，连结四边形为矩形且是的中点也是的中点 又是的中点， 平面，平面，所以平面； （）证明：平面 平面，平面 平面，所以平面 平面，又平面，所以 又，是相交直线，所以面 又平面，平面平面； （）取中点为连结,为等腰直角三角形，所以，因为面面且面面，所以，面，即为四棱锥的高 由得又四棱锥的体积 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥中， ，.（）证明：；（）若求四棱锥的体积【答案】（）设，连接EF， 平分为中点，为中点，为的中位线. ，. ()底面四边形的面积记为; 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，为的中点(1) 求证：；(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积【答案】 （1），为中点， 连，在中，为等边三角形，为的中点，, ,平面,平面 , 平面. （2）连接,作于. ,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD， , , . , 又,. 在菱形中，, . 5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，现将沿边折至位置，且平面平面. 求证：平面平面； 求四棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：由题可知，(2) ，则. 6、已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，EDCBAP(1)若，求 PC与面AC所成的角(2) 求证：平面(3) 求证：平面PBC平面PCD【答案】平面，是直线在平面上的射影，是直线和平面所成的角。又，四边形是正方形，；直线和平面所成的角为（2）连接AC交BD与O,连接EO, E、O分别为PA、AC的中点EOPC PC平面EBD,EO平面EBD PC平面EBD（3）PD平面ABCD, BC平面ABCD，PDBC，ABCD为正方形 BCCD，PDCD=D, PD，CD平面PCDBC平面PCD又 BC平面PBC平面PBC平面PCD7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求四棱锥的体积【答案】（1）平行平面 证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）所以平行因为，所以平行平面.（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前，由于折叠后，点，所以 因为，所以平面.（3） .8、在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比【答案】(1)证明：平面，平面，又平面，为正方形，DC.，平面.在中，因为分别为、的中点，平面.又平面，平面平面.(2)不妨设，为正方形，又平面，所以.由于平面，且，所以即为点到平面的距离，三棱锥2.所以.9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，SCADB(1)求四棱锥S-ABCD的体积;(2)求证：(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。【答案】（1）解： （2）证明：又 （3）解：连结AC,则就是SC与底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC=, 10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 （I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 【答案】分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则。SABCDMzxy（）设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即， 二面角的大小。 11、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角A-BACBA1B1C1DED-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小 【答案】（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, )。又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以与平面所成的角为3012、如图，平面，分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值【答案】（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ，所以13、如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【答案】（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.14、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离【答案】（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。15、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： （III）求二面角的大小。【答案】（I）因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC PMNC为平行四边形,所以PMCN. CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE. （III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延长线于G,则FGEA.从而FG平面ABCD,作GHBD于H,连结FH,则由三垂线定理知BDFH. FHG为二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=,则在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小为16、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(01). ()求证：对任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。【答案】（）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60=得， 即=3 ， 解得=17、如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。【答案】（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （） 过点A作AF垂直于点,连接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。 因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E= = 4, , .即直线AD和平面所成角的正弦值为 .18、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： （III）求二面角的大小。【答案】（I）因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 （II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC PMNC为平行四边形,所以PMCN. CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE. （III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延长线于G,则FGEA.从而FG平面ABCD,作GHBD于H,连结FH,则由三垂线定理知BDFH. FHG为二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=,则在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小为19、如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值【答案】（）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因，故；又平面，由三垂线定理可知，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.20、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD(1)证明：PABD；(2) 设PDAD，求二面角APBC的余弦值【答案】(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得.从而BD2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)，.故二面角APBC的余弦值为.