立体几何综合大题20道(理).doc

立体几何综合大题（理科）40道及答案

1、四棱锥中,⊥底面,,, .

(Ⅰ)求证:⊥平面；
(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。
【答案】
(Ⅰ)证明:因为BC=CD，即为等腰三角形，又,故.
因为底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，
故⊥平面。
(Ⅱ)解：.
由底面知.
由得三棱锥的高为,
故：

2、如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面 平面，且，分别为和的中点．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱锥的体积．
O

【答案】
（Ⅰ）证明：如图，连结．
∵四边形为矩形且是的中点．∴也是的中点．
又是的中点，
∵平面，平面，所以平面；
（Ⅱ）证明：∵平面 平面，，平面 平面，
所以平面 平面，又平面，所以
又，是相交直线，所以面
又平面，平面平面；
（Ⅲ）取中点为．连结,为等腰直角三角形，所以，
因为面面且面面，
所以，面，
即为四棱锥的高．
由得．又．
∴四棱锥的体积
考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.
3、如图，在四棱锥中，，， ，，，.

（Ⅰ）证明：∥；
（Ⅱ）若求四棱锥的体积
【答案】（Ⅰ）设，连接EF，

∵∴
∵平分为中点，为中点，
∴为的中位线.
∵∥，
∴∥.
(Ⅱ)底面四边形的面积记为;
．

．
考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.
4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．

(1) 求证：；
(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积．
【答案】
（1），为中点，　　　　　　　　　　
连，在中，，，
为等边三角形，为的中点，
, 　　　　　　　　　　　　　
,平面,平面 ,
平面. 　　　　　　　　　　　　　
（2）连接,作于. 　　　　　　　　

,平面,
平面平面ABCD,
平面平面ABCD，
,
,

. 　　　　　
,
又,.　
在菱形中，,
, 　
.　
．　
5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.
⑴ 求证：平面平面；
⑵ 求四棱锥的体积.

【答案】(1) 证明：由题可知，

(2) ，则
.

6、已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，
E
D
C
B

A
P

(1)若，求 PC与面AC所成的角
(2) 求证：平面
(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD
【答案】平面，是直线在平面上的射影，是直线和平面所成的角。又，四边形是正方形，，；直线和平面所成的角为
（2）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD
（3）∵PD^平面ABCD, BC平面ABCD，∴PD^BC，
∵ABCD为正方形 ∴ BC^CD，
∵PD∩CD=D, PD，CD平面PCD
∴BC^平面PCD
又∵ BC平面PBC
∴平面PBC^平面PCD
7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．

（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；
（2）证明平面；
（3）求四棱锥的体积．
【答案】（1）平行平面
证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）
所以平行
因为，所以平行平面.
（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前，由于折叠后，点，所以
因为，所以平面.
（3）

.
8、在如图所示的几何体中，四边形是正方形，⊥平面，∥，、、分别为、、的中点，且.

(1)求证：平面⊥平面；
(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比．
【答案】(1)证明：∵平面，∥，
∴平面，
又平面，∴，
∵为正方形，∴DC.
∵，∴平面.
在中，因为分别为、的中点，
∴∥，∴平面.
又平面，∴平面平面.
(2)不妨设，∵为正方形，∴，
又∵平面，
所以＝＝.
由于平面，且∥，
所以即为点到平面的距离，
三棱锥＝××2＝.
所以.
9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，

S
C
A
D
B

(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证：
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。
【答案】（1）解：

（2）证明：

又

（3）解：连结AC,则就是SC与底面ABCD所成的角。
在三角形SCA中，SA=1,AC=,

10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（I）证明：是侧棱的中点；
求二面角的大小。
【答案】分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。
S
A
B
C
D
M
z
x
y

（Ⅰ）设，则
又
故，即
，解得，
所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴
二面角的大小。

11、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BA
C
B
A1
B1
C1
D
E
D-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

【答案】（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量则
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，c）,故
令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, )。
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以与平面所成的角为30°
12、如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中， ，
所以

13、如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

【答案】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE//PD，，又∵，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

14、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以 就是与平面所成的角，
且

所求角为
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

15、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥
（III）求二面角的大小。

【答案】（I）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE.
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为

16、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。
【答案】（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得ACBE.
(II)SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。
过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由cot60°=

得， 即=3
， 解得=

17、如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ） 过点A作AF垂直于点,
连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故是直线AD和
平面所成的角。 因为DE，
所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=，AE=4-CE=4-=3.
又因为，所以E= = 4,
, .
即直线AD和平面所成角的正弦值为 .

18、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，
求证： ∥
（III）求二面角的大小。

【答案】
（I）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE.
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为
19、如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．

【答案】
（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。
在中，
由平面，得AD，从而在中，
。即直线到平面的距离为。
（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE
，所以，为二面角的平面角，记为.
在中, ,由得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.

20、如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

(1)证明：PA⊥BD；
(2) 设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

【答案】
(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，.
故二面角A­PB­C的余弦值为.