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球和立体几何中的创新问题
【知识要点】
1．球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。
2．截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。
3．球的表面积、体积公式：S=4πR2，V=πR3
4. 球中的切接问题：可以正方体，长方体，正四面体为例做推导。
*5．球面距离：球面上两点的大圆劣弧长，是球面上两点间的最短距离
*6．地球仪中的经纬度：纬度为线面角，经度为二面角
【实战训练】
【球的问题】
1. 64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（ C ）
　（A） （B）
　（C） （D）
2.球的面积膨胀为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（ C ）倍。
（A） （B）2 （C） （D）4
3．在球面上有四个点P,A,B,C，且满足PA=PB=PC=，PA,PB,PC两两垂直，则球的表面积为_______；体积为__________．（）
4．自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，球的半径为R，则 （ A ）
（A） （B）3R （C）2R （D）
5. 两球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，则这两球的直径之差为（ D ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6．半径为4的球面上有A,B,C,D四点，且满足，则的最大值为（为三角形的面积）____________．32
7．与棱长为的正方体各条棱都相切的球的直径为____________．
8．正四面体的内切球半径与其外接球半径的比为_____________．
9．球的外切正四面体的高是球的直径的________倍．2
10．半径为R的球的内接正四面体的高为________________．
11．正四面体的棱长为1，球O与正四面体的各棱均相切，且O在正四面体的内部，则球O的表面积为_．
12．将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ C ）
A． B． C． D．
13．在一个大空心球的内部装有四个半径为1的实心球，那么这个大球的表面积至少是（ A ）A． B． C． D．
14．三个半径为R的小球两两相切放在水平桌面上，又一个半径为r的小球同时与这三个小球相切，且和桌面也相切，则R：r为（ D ）
A． B． C． D．
17．已知球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于________；球的表面积等于________；球的体积等于_________．（）
18．正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，侧棱长为，且它的五个顶点都在同一球面上，则此球的半径为__________．
19．在北纬60o圈上有A，B两地，它们经度相差180o，则A，B两地沿纬度圈的弧长与A，B两地的球面距离之比是_____________ ．3：2
20．设地球的半径为R，若甲地位于北纬45o，东经120o，乙地位于南纬75o，东经120o，则甲、乙两地的球面距离为( D )
A． B． C． D．
21．球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为____________．
22．已知球O的半径为1，A,B,C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC距离为_____________．
23．半径为1的球面上有A,B,C三点，已知A和B，A和C之间的球面距离均为，B和C之间的球面距离为，则A,B,C三点的截面到球心的距离是 ____________．
24.如图，在斜三棱柱中，
，
侧面与底面ABC所成的二面角为，
E、F分别是棱的中点
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明∥平面
（Ⅲ）求经过四点的球的体积。
（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.
连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是
∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG为∠BAC的平分线.
又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点
因此，由三垂线定理，A1A⊥BC.
∵A1A//B1B，且EG//B1B， EG⊥BC 于是
∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即
∠AGE=120°
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°，
所以，A1A与底面ABC所成的角为60°，
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.
而FP平面B1FC，A1E//平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.
（Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，
A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC， ∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中，
故所求球的半径，球的体积 .

【创新问题】
1.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
A. B. C. D.
答案 C
2. （2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为，由题意得
，
，，所以
，
当且仅当时取等号。
3.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱
的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________
答案
【解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径
∴ ∴球的体积.
4. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
5. 在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ C ）
A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）
B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
6.如图６－１，在直三棱柱中，底面为直角三角形，
．是上一动点，
则的最小值为
解：连结，沿将展开与在同一个平面内，
如图６－２所示，连，则的长度就是所求的最小值．
通过计算可得，又故，
由余弦定理可求得．
7.如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ．

答案：
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着 F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是
8. 如图，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．
点A、D分别是、的中点，现将△沿着边
折起到△位置，使⊥，连结、．
（1）求证：⊥；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
（1）证明 ∵点A、D分别是、的中点，
∴.
∴∠=90º.
∴.
∴ ,
∵,
∴⊥平面.
∵平面,
∴.
（2）解 建立如图所示的空间直角坐标系．
则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.
∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,
设平面的法向量为=（x，y，z），则：
，
令，得，
∴=（1，1，－1）.
显然，是平面的一个法向量，=（）．
∴cos<，>=． ∴二面角的平面角的余弦值是.
9. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析：此问题可以分解成五个小问题：
（１）由正方体的八个顶点可以组成个三角形；
（２）正方体八个顶点中四点共面有12个平面；
（３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有个；
（４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率；
（５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得故选A．
10.如图，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点的轨迹是（　A　）
A．线段　　　　　　　　
B．线段
C．线段的中点与的中点连成的线段
D．线段的中点与的中点连成的线段
分析：由三垂线定理知：线段与、都垂直，则过点A且垂直于的平面为，因此，因此答案应选A .
11.四棱锥中，，底面ABCD为梯形，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ B ）
A. 圆
B. 不完整的圆
C. 抛物线
D. 抛物线的一部分
12.已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ B ）
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线

简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作 于E、于F，连结EF，易知

又作于N，则。
依题意，
即，
化简得
故动点P的轨迹为双曲线，选B。
【学会用模型化观点解决立体几何问题】
【一】长方体模型
长方体中是长方体的对角线，它有几个结论：

①体对角线长是：
②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为，则
③考虑四面体是对棱长分别相等的四面体，即，
对棱长分别是.
例：某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是，求四面体的体积.
分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为的长方体中，
如图，由
把看作三个元，解这个三元方程组得：
这样都可以用这个四面体的对棱长来表达.
四面的体积＝长方体的体积－4个三棱锥的体积
所以.
四面体中异面对棱长分别为的四面体的体积的算法——嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用.
例:如图，三棱锥中，，
在△内，，求的度数.

分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的
三个面是吻合的，这样PM是这个长方体的
对角线.根据，
可得，从而.如果在图中随便连MC，
解△MPC那恐怕不是好办法.
这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥是完全可能的.
【二】直角四面体模型
在三棱锥中，，且.
①以P为公共点的三个面两两垂直；
②△ABC是锐角三角形
证明：设△ABC中
.
所以为锐角，同理也为锐角.
③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心
④三棱锥的高

设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.
在△PAD中，

这个结果也可以这样说：如果在三棱锥中，在底面上作于D，连结PD，
则.或者说：作则.这将来对二面角的平面角有好的影响.
⑤体积：;⑥它的外接球直径是.
例：直二面角中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，F为CE上的点，BF⊥面ACE，求D到面ACE的距离.
分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.
在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.
补充图形，在正方体看问题.在这里看直二面角的局部图形.
问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.
因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，
考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.

所以，D到面ACE的距离为.
【三】正四面体模型
正四面体如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体，特别在多球问题中有广泛的应用.正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上.如图，正四面体，E、F分别是对棱BC、AD的中点，△AED是它的对称面，若正四面体的棱长为1，通过解△AED，可得它的对棱距离.高，内切球半径，外接球的半径，表面积为，体积为，相邻面所成的角的平面角为，侧棱与底面成的角为.
【四】直四面体模型
如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，
这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，
不妨称为直四面体，主要性质：
（1）它的四个面都是直角三角形；
（2）；
（3）以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是 与；
（4）以AD为棱的二面角为，则；
（5）对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；
（6）对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则，等等.
例：如图6，直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B－AC－E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离.
分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体A－EBC是一个双垂四面体，若二面角B－AC－E的平面角为，则，由条件可以计算出AB＝CB=2,AE=，，∴.
值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为

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