立体几何怪难题-理科.doc

实用文案
立体几何提升训练
【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
(1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。
解：（1）证明：因为是的中点，， 所以。

由底面，得，
又，即，
平面，所以 ，
平面， 。
（2）连结，
因为平面，即平面，
所以是与平面所成的角，
在中，，在中，，故，在中, ，又，
故与平面所成的角是。
（3）由分别为的中点，得，且，
又，故，由（1）得平面，又平面，故，
四边形是直角梯形，在中，，，
截面的面积。
（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（图略）
由，得，
因为 ，所以。
（2）因为 所以，又 ，
故平面，即是平面的法向量。
设与平面所成的角为，又。
则，
又，故，即与平面所成的角是。
因此与平面所成的角为，
【例2】如图，已知是底面为正方形的长方体，
，，点是上的动点．
（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面并证明你的结论；
（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正切值的最大值．
解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.
证明如下：由题意知，， 又
平面 又平面 平面平面．
（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中 ∵ ∴
∴, ，
． 又．
在中， ．
异面异面直线与所成角的余弦值为．
解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，，，，，
∴．
∴异面异面直线与所成角的余弦值为．
（3）由（1）知，平面，是与平面所成的角，
且．
当最小时，最大，这时，由
得，即与平面所成角的正切值的最大值．
【例3】已知平面，，与交于点，，，
（1）取中点，求证:平面。
（2）求二面角的余弦值。
解法1:(1)联结，∵，，AC=AC
∴，∴为中点，∵为中点，
∴， ∴平面
（2）联结，∵，
∴在等边三角形中,中线，
又底面， ∴，∴，
∴平面平面。过作于，则平面，
取中点，联结、，则等腰三角形中，，
∵，∴平面，∴，
∴是二面角的平面角
等腰直角三角形中，，等边三角形中，，
∴Rt中，，∴，
∴. ∴二面角的余弦值为。
解法2：
以分别为轴，为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵ ∴，
∴是等边三角形，且是中点，
则、、、、、
（1） ∴，∴，∴平面
（2）设平面的法向量分别为，.
则的夹角的补角就是二面角的平面角；
∵，，，
由及得，，，
∴二面角的余弦值为。
【例4】如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。
（I）求证：AF//平面BCE；
（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。
【解】（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，
∴FP//DE，且FP= 又AB//DE，且AB=
∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。
又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。
（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），
显然，为平面ACD的法向量。
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
【例5】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设，求k的值.
解：（Ⅰ）证明：
PA⊥平面ABCD，AD⊥CD.
∴ CD⊥平面BEF
（Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,
由E是PC中点,得EH∥PA, PA⊥平面ABCD. 得EH⊥平面ABCD，且EH.
作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD.
故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=600.
∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,
故. 得, 得 .
在Rt△EHM中，
得
解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，
建立如图空间直角坐标系.
则，，
设PA = k,则,
, 得
有

(Ⅱ) .
设平面BDE的一个法向量，
则 得 取
由
得
【例6】如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点，
(1)设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα.
(2)设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ.
(3)在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，
若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由。

答案：解：(1)连AF、DF，由△ABC及△BDC是正三角形，F为BC中点，得AF⊥BC，DF⊥BC，AF=DF
∴∠AFD为二面角A-BC-D的平面角
设棱长为a，在△ABC中，AF=，DF=
在△AFD中， ∴
(2)法一：∵BC⊥面ADF，BC面BCD
A
E
B
C
D
y
O
x
z
∴面ADF⊥面BCD
在面ADF中，过E作EG⊥DF，则EG⊥面BCD，连CG，则∠ECG=
又AF=DF，E为AD中点，故EF⊥AD
在Rt△DEF中，EF=
DE=，由得
在Rt△CEG中，
法二：设AO⊥面BCD于O，则O为等边三角形，BCD为中心，设BC中点为M，CD中点为N，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系0-xyz，设棱长为2a，则0(0,0,0)，A(0,0，a),C(a,a,0),D(-a,0,0)，E(-a,0,a)
∴0,0，a，(-a,-a,a)
∴cos<>=
∴CE与面BCD所成角的余弦值为cos= sin<>=
(3)法一：设F(a,y,0)，则
又 ∴，∴y=-2a
∴F(a,-2a,0),即F在CB处长线上，且FB=BC
法二：设，∵B、C、F三点共线，∴
又∵ ∴ ∴
∴
∴F在CB延长线上，且FB=BC
【例7】如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，
且,若、分别为线段、的中点．
(1) 求证：直线// 平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 求二面角的正切值.
(1)证明：连结，在中//
且平面，平面

(2)证明：因为面面　平面面　
　　所以，平面　
又，所以是等腰直角三角形，且　
　　即
　　，且、面
　　面
　　又面　　面面
(3)解：设的中点为,连结,,则
由(Ⅱ)知面,　
面　
是二面角的平面角中，　
　故所求二面角的正切为
另解：如图,取的中点, 连结,.
∵, ∴.
∵侧面底面,,
∴,
而分别为的中点,∴,又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,,,,,.
∵为的中点, ∴.
（1）易知平面的法向量为而,
且, ∴ //平面.
(2)∵, ∴,
∴,从而,又,,
∴,而, ∴平面平面
(3)由(2)知平面的法向量为.
设平面的法向量为.∵,
∴由可得,令,则,
故,∴,
即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.
【例8】如图,在梯形中,∥,,。
M
F
E
C
D
B
A
,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.。
(1)求证:平面;。
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
（Ⅰ）在梯形中，，
四边形是等腰梯形，
且
2分
又平面平面，交线为，
平面 4分
（Ⅱ）解法一、当时，平面， 5分
在梯形中，设，连接，则 6分
，而， 7分
，四边形是平行四边形， 8分
又平面，平面平面 9分
解法二：当时，平面，
由（Ⅰ）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分
x
D
y
z
C
O
F
B
A
E
则，，，，
，
平面，
平面与、共面，
也等价于存在实数、，使，
设.，
又，，
从而要使得：成立，
需，解得 当时，平面
（Ⅲ）解法一、取中点，中点，连结，，
平面
又，，又，

是二面角的平面角.
在中,
,. 又.
在中，由余弦定理得,
x
D
y
z
C
O
F
B
A
E
即二面角的平面角的余弦值为.

解法二:由(Ⅰ)知,以点为原点，所在直线为坐标轴,
建立空间直角坐标系,则,，，
，，过作,
垂足为. 令,
,
由得,,,即
,
二面角的大小就是向量与向量所夹的角.
即二面角的平面角的余弦值为.
【例9】A
B
D
C
E
F
如图，已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．
（1）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；
（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值。
解法一：（向量法）：
A
B
D
C
E
F
M
N
x
y
z
过点作 ∵⊥平面
∴⊥平面 又在中，
∴
如图，以为原点，建立空间直角坐标系．
又在中，，
∴ 又在中，
∴ 则
（1）证明：∵
∴
∴ ∴ 又 ∴⊥平面
又在中，、分别是、上的动点， 且
∴不论为何值，都有 ∴⊥平面 又平面
不论为何值，总有平面⊥平面
（2）∵，∴,∵，∴，
又∵， ，
设是平面的法向量，则 又，,∵=(0,1,0),
∴ 令得 ∴，
∵ 是平面的法向量，平面与平面所成的二面角为，
∴ ∴，
∴或（不合题意，舍去），
故当平面与平面所成的二面角的大小为时．
解法二：∵，∴ , 设E（a,b,c）,则，
∴a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,∴)。
其余同解法一
（2）解法三：设是平面的法向量，则，∵
∴ ∴ 又在中，，
∴ 又在中， ∴ ∴
又，且 ∴ ∴ ∴
又 ∴ ∴
∴ 令得 ∴
其余同解法一
【例10】如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=，O为AB的中点．
（I）当时，求证：OC//平面DEF；
（II）当时，求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值；
（III）当为何值时，在DE上存在点P，使CP平面DEF？

（I）证：取DF的中点G，连结GE．由三棱柱得，AF//BD//CE，
而BD=1，AF=5，∴ 四边形ABDF为梯形，∵OG为梯形ABDF的中位线 ∴OG//AF，且OG=3 而CE//AF，且CE=3 ∴OGCE
x
y
z
∴四边形OCEG为平行四边形 ∴GE//OC
又OC平面DEF，GE平面DEF ∴ OC//平面DEF
（II）以直线OB．OC分别为轴．轴建立如图所示的空间直角坐标系， AF=，则D．E．F的坐标分别为：D（1，0，1）．E（0，，3）．F（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
设平面DEF的法向量，
由得 可取
平面ABC的法向量可以取 ∴
∴平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．
（III）在（II）的坐标系中，AF=，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．因P在DE上，设，则
∴
于是CP平面DEF的充要条件就为
由此解得，
即当=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP平面DEF．
【例11】图1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
图1

解（Ⅰ）在中，，
在中，，
∵，
∴．
∵平面平面，且交线为，
∴平面．
∵平面，
∴．
（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，且交线为，
如图2，作，垂足为，则平面，
连结，则是直线与平面所成的角．
由平面几何的知识可知，∴．
在中，，
在中，，可求得．
∴．
∴直线与平面所成的角的正弦值为．
【例12】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1 B1 C1，平面A1 A1⊥平面ABC，，AB=AC=2，A1 C1=1，，D是BC的中点．
(I)证明：平面A1AD上平面BC C1 B1；
(II)求二面角A－B B1－C的大小．
解：(I)∵A1 A⊥平面ABC，BCC平面ABC，
∴A1 A⊥BC．
∵，AB=AC=2
∴∠BAC=60°，∴△ABC为正三角形，即AD⊥BC．
又A1 A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，
∵，∴平面A1 AD⊥平面BCC1B1．
(Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，
A1(0，0， )，B1(1，0，)，
∴，
显然，平面ABB1A1的法向量为m=(0，1，0)，
设平面BCC1B1的法向量为n=(m，n，1)，则
∴ ∴，
，

即二面角A－BB1－C为arccos

【例13】如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC⊥底面ABC，∠AAC=60°.
(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；
(Ⅱ)已知点D满足，在直线AA上是否存在点P，使DP∥平面ABC？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC.
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，；
∴.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)
则 解得n=(-1,0,1).
由cos<>=
而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为
(Ⅱ)∵而 ∴
又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(-，0，0).假设存在点P符合题意，
则点P的坐标可设为P(0，y，z). ∴
∵DP∥平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，
∴由，得
又DP平面AB1C，故存在点P，使DP∥平面AB1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点

【例14】
如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，
平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？
若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3，∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD，∴以OB．OC．OA1所在直线为x轴．y轴．z轴建立如图
所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），
D（－，0，0），A1（0，0，）于，，
则，∴BD⊥AA1…
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量，
设⊥平面AA1D则，
得到，，
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1，设则，得
设则设，得到，又因为平面DA1C1，则·，即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP…
【例15】如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．
（1）求异面直线和所成的角的余弦值；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的最大值、最小值．
解：（1），，，
，,
（2）平面BDD1的一个法向量为，设平面BFC1的法向量为
∴
取得平面BFC1的一个法向量
∴所求的余弦值为
（3）设（）
，由得
即，

,当时，当时，∴
【例16】D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小；
(Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?
解法一：（Ⅰ）过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
（Ⅱ） 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，
设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，
sin∠APF=。所以，直线AP与平面PBC所成的角是。
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
z
x
y
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
解法二：以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、、、、
(Ⅰ)由上得、、
，设得

解得， ∴

， ∴∥平面
_
（Ⅱ）当时，由、得、、
设平面的法向量为，则由，得，
，∴直线与平面所成角的大小为.
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知的重心为，则，
若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得
∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.
【例17】A
E
D
C
B
A1
B1
C1
第17题图
如图,侧棱垂直底面的三棱柱的
底面位于平行四边形中,,
,,点为中点.
（Ⅰ）求证:平面平面.
（Ⅱ）设二面角的大小为,直线
与平面所成的角为,求的值.
解:（Ⅰ）方法一、在平行四边形中, ∵,,,点为中点.
∴,,从而,即
又面,面
∴,而, ∴平面
∵平面 ∴平面平面
方法二、∵,,,点为中点.
∴,,，∴
又面,面，∴,而,∴平面
A
E
D
C
B
A1
B1
C1
x
y
z
∵平面 ∴平面平面
（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知,
∴为二面角的平面角,即,
在中,,
,
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
其中,,,,
,,
设为平面的一个法向量,则,∴即
令,得平面的一个法向量,
则,
又, ∴,
A
E
D
C
B
A1
B1
C1
F
∴, 即
方法二、由（Ⅰ）可知,
∴为二面角的平面角,即,
在中,,
,
过点在平面内作于,连结,
则由平面平面,且平面平面,得平面
∴为直线与平面所成的角,即
在中,,,
∴, 即
【例18】如图4，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥A-BCE的体积．
解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，
∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE.
（Ⅱ）延长DA，EB交于点H，连结CH，因为AB∥DE，AB=DE，所以A为HD的中点．因为F为CD中点，所以CH∥AF，因为AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE=45°，则所求成锐二面角大小为45°．
（Ⅲ），因DE∥AB，故点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，也即△ABC中AC边上的高．
∴三棱锥体积．
方法二 （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．平面ACD的一个法向量为，
设面BCE的法向量，则即取．
则．
∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一个法向量为，．点A到BCE的距离．
又，，，△BCE的面积．
三棱锥A-BCE的体积．

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