立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc

立体几何证明------垂直
一.复习引入
1. 空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。
2. （公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.
3. 直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。
4. 直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行
5. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么_________________________.
6. 两个平面的位置关系:_________,_________.
7. 判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两
个平面平行.
8. 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________.
9. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行.
10. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面.
二．知识点梳理
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义
判定
语言描述
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.
图形

条件
b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥α
⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì
结论
⊥
⊥
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）
知识点二、直线和平面垂直的性质

性质
语言描述
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形

条件

结论

知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）
二面角的平面角的三个特征:
ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

定义
判定
文字描述
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形

结果
α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）

三． 常用证明垂直的方法
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：

（1） 通过“平移”。
（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。
（3） 利用勾股定理。
（4） 利用直径所对的圆周角是直角

(1) 通过“平移”,根据若
P
E
D
C
B
A
1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.
求证：AE⊥平面PDC.

2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD；

（第2题图）

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质
3、在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；

A
C
B
P

（3）利用勾股定理

4. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，
求证:平面；
_
D
_
C
_
B
_
A
_
P

（4）利用直径所对的圆周角是直角
5、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

课堂及课后练习题：
1. 判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。
（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ）
（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ）

2. 已知直线a,b和平面，且则b与的位置关系是________________________________________________.
3.如图所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点，且,为中边上的高。
（1）证明：；

4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD,
E为PC的中点, PA＝AD。
证明: ;

5.如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
证明：AB⊥PC

6.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（1）求证：平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

7.如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．
（Ⅰ）证明：;

8.如图，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,C是狐AB的中点，为的中点．证明：平面平面;

课堂及课后练习题答案：
1
（1） √ （2） √ （3）√
2.
3.
证明：因为为中边上的高，所以，又因为，所以，，所以
4. 分析：取PD的中点F，易证AF//BE, 易证AF⊥平面PDC，从而
.5.证明：因为是等边三角形，,
所以,可得。
如图，取中点，连结,,
则,,
所以平面,
所以。
6.（1）证明：连结OC

在中，由已知可得
而
即
平面
7.
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为
矩形，DE=CB=2，连结SE，则
又SD=1，故，
所以为直角。
由，
得平面SDE，所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。

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