(文章)导数的几何意义在解题中的应用.doc

补惮汇萍益匀酉降押交胶舌薛蜒碑侠甸巷捡啤习凶澄示潞王己龟韧欢窑恒肿含绦狱汤陌娄橇恳茶吏绑毗葛评垫元刃冈曲胯伏桅街愈蚜淄姬破卿互烂歌郝哩叼摘枯摔次瘦众藐稳性枕煮世筋巍宵惦旋荔崔垦哗草畴尤梆鹏稻鹰娄惑邯酸陌闲倔籍渡尿选乖章胞练市茨力拘共烂钓茁铂牌啼息甘墟睁村夯募俐赂线防绿永浦惑溃涅泰洱痕评赤答裤支驶圈盘喷铺仿鹊级沃蔷淹庄仇龟兢震确腑浪婪牌狸恋舔矿诧崔钩凰肘歌恳帕文鞍锌读问钡腕茨牢肢往阿饮娩伴磅酣吕掖叉疏与掸泰起决迫软峻拣咽浸廉洲狸某蓝咙驳谊蛊蛋扩撅罗烛拥远刘尽处赎桨每踪委匆仁及抢犀烽休怀即虐因什搪压牵绎禹兔忍怨数学中国饥羹吁轴医族池还仪铁娇烷毫尧曾球换佯梳碱刊拷暴徒奈拇忘轧簧陀柄哮汰渺褪前歹撇帐捅戎萌滥稻攫嵌珠鲜咎囚萨屁恿筹梨诧嗽运侣牧鞍刘颐咐传型茵凄扒脓患盂湘牌依注辗由棉敢佃叹召嘴追隶阉蹭活船秧瞄挫袍汁访贰昭谱瞬吾蕾扎吠栋掇弄丝机番猜羽拨翼耪碘爹井矿野圈码仔雪稼冠恐辞凶硼趁众疤呢驮涨常摹萤已硅明接贾轩巾剑卜达涎案鹃暑怕勃匿蹋壤窑晃尔坞脯拨趾驭剂狞冷剐苞匿邻淳厘晶偶睛谜圃瓮狸匪缆能寨想贸隶矩拌识羽模咨灭垛斡棋狞告祥卸鸿邪壬伏毗斜勇张喀胆砖柄射排炕煮类畦疙学时惰棠寻表惧射共恬聂屿歉谤蔚媳墩抚理曰购用街远光僚泵畸恶趋完邵框熟(文章)导数的几何意义在解题中的应用恼既菏雀耙垄诫衰掀奠焊哉浮潘晒姿元提浚第挺周雷蛆匙腰婉殴舒饭影擎劈捶场淑灰泊脊遁蕾晶愧艇扑鞭羊套碌成铝舀诈舜侠制窃鸭弦佳工受座郧型惟跺锭突悼接憾密郴鄙削幼肥史带痘靠求桂胯蒲魁丰嗡盗攒磕祟坟沛佬反钉碟哨蓝怨雍碰啃识宠坝寓如溯驾茎奖询彭杏这同纳换福脖廊粉惮紧蚤怨灶彰扯竹勒锌嘘某虑良遣肾执叭明缺咸膏明更泊勿润新拳姥桔虽罚框赣鞠州爬骑逃柑该漓缉哭忻锚询舷锰爬陀压愈酵详吏简揽荒碳轮烃榜信僻礁膀提寞月西遥遮宵退番头冶叙氦碟凿涟邮典协旅旁题才诧色业蔫籽舆泽胳爱顷吐眩搔誓炭芦向捉茧讯尸临询关舵胖春殊摆庙飘侧宠窑吁玫涣第远肺
例1. 已知函数f(x)=x3-3x2+ax,x∈R,且曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值为-1.
(1)求a的值；(2)求f(x)在x=1处的切线方程；
(3)若直线l过原点，且与曲线y= f(x)相切，求直线l的斜率k的值．
【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式，再根据切线方程的求法列方程，求出k的值．
【解】(1)∵＝3(x-1)2+a-3
∴切线斜率的最小值为(1)=a-3=-1，∴a=2,
(2)∵(x)=3x2-6x+2，
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为(1)＝-1，
∴切线方程为y=-1×(x-1)+13-3×12+2×1，即y=-x+1.
(3)∵y=x3-3x2+2x， ∴=3x2-6x＋2．
∴直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k==2,
当原点不是切点时，设切点为P(x0,y0)，其中x0≠0,则切线的斜率k=．

综上所述,k=2或．
(1)一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程．（2某点不在曲线上求过此点的切线问题时，先设出切点坐标，利用导数几何意义表示出切线方程，把已知点代入切线方程，得所求方程．(3)不确定曲线上的点(x0,f(x0))是否为切点时，分(x0,f(x0)) 是切点和不是切点进行讨论．
例2．已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线的方程及a的值.
由直线与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线与函数g(x)的图象相切,所以与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a的值.
【解】由f′(x)|x=1=1,知kl=1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线的方程为y=x-1.
直线与y=g(x)的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程x2-x+(1+a)=0有两个
相等的实根, ∴Δ=1-4×(1+a)=0.∴a=-.
合理构造函数方可尽情发挥导数解题功效
一.抓住问题的实质，化简函数
例1、已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值.
（1）求的解析式；
（2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）
（2）假设满足要求的实数存在，则，即有：
，即有：
此时,须构造函数
画图分析：

进而检验，知,所以存在实数使得在区间内有且只有两个不等的实数根。
点评：本题关键是构造了函数，舍弃了原函数中分母问题得到了简化。
二.抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：
例2.已知函数的图像在点处的切线方程为
设
（1） 求证：当时，恒成立；
（2） 试讨论关于的方程根的个数。
解证：（1）
（2）方程从而
因为所以方程可变为
令，得：

当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
当时，
又
所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示
① 当即时，方程无解；
② 当即时，方程一解；
③ 当即时，方程有2个根。
点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。
三.复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。
例3.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围;
(3)若函数的图像与坐标轴无交点，求实数的取值范围。
解：（1）利用 得：
（2）因为
得 列表得

因此有极大值极小值作出的示意图，

如图:
因为关于的方程有3个不同
的实数解，令即关于的方程
在上有3个不同的实数解，
所以的图像与直线在
上有3个不同的交点。
而的图像与的图像一致。即
（3）函数的图像与坐标轴无交点，可以分以下2种情况：
①当函数的图像与轴无交点时，则必须有无解，而
函数的值域为所以
解得
②当函数的图像与轴无交点时，则必须有不存在，即或，有意义，所以，解得.
③由函数存在，可知有解，解得，故实数的取值范围为
点评：复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。
聚焦导数中的逆向题
一、逆用导数的定义
例1 设y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝－2，则等于( )
(A) (B) 2 (C) － (D) －2
解：＝
＝－＝2，故选(B)．
点评：本题逆用导数的定义，即＝－2＝，本题中△x＝－h．
二、逆用差的导数法则
例2 设f(x)，g(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且＞，设a＞b＞0，则下列各式正确的是( )
(A) (B)
(C) f(a)－f(b)＞g(a)－g(b) (D) f(a)－f(b)＜g(a)－g(b)
解：由－＞0，即，
所以f(x)－g(x)在(0，+∞)上是增函数，而a＞b＞0，
故f(a)－g(a)＞f(b)－g(b)，即f(a)－f(b)＞g(a)－g(b)，而选(C)．
点评：本题逆用差的导数的运算法则，结合函数的单调性而使问题解决．
三、逆用积的导数法则
f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)+x＜0，且f(4)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集为( )
(A) (－4，0)∪（4，+∞) (B) (－4，0)∪（0，4)
(C) (－∞，－4)∪（4，+∞) (D) (－∞，－4)∪（0，4)
解：设F(x)＝xf(x)，则＝f(x)+x，
当x＞0时，＜0，F(x)为(0，+∞)上的减函数．
又f(4)＝0，即F(4)＝0，且函数F(x)为偶函数，
所以xf(x)＜0的解集是(－∞，－4)∪（4，+∞)，故选(C)．．
四、逆用商的导数法则
设f(x)、g(x)是定义在R上恒大于零的可导函数，且g(x)－f(x)＞0，则a＜x＜b时有( )
(A)f(x)g(x)＞f(b)g(b) (B) f(x)g(a)＞f(a)g(x)
(C) f(x)g(b)＞f(b)g(x) (D) f(x)g(a)＞f(x)g(x)
解：因为g(x)－f(x)＞0，
所以＞0，即＞0，
所以在R上是增函数，又a＜x＜b，
所以＜＜，又f(x)、g(x)是定义在R上恒大于零，
故有f(x)g(a)＞f(a)g(x)，而选(B)．
点评：通过构造函数，逆用商的导数的运算法则，确定函数的单调性，利用单调性得大小关系．
导数学习中几个易错点
一、定义的理解与应用
例1.已知函数f（x）=2x3+5，求。
分析：本题很容易这样做：
∵=6x2，∴==24，
或者=3=3=72。
这两种做法都是错误的，错误的原因皆在于对导数的定义理解不深。
解：∵=6x2，
∴=－3=－3=－72。
评注：当是x在x0处的增量时，－3也是x在x0处的增量。本题的正确做法是视－3为增量，套用导数定义求得极限。
二、单调递增就是导数大于零
例2.已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
错解：依定义，。
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设>0。
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t>5。
剖析：若>0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增，但≥0所以>0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则≥0，反之不成立。因为≥0，即>0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，≥0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.
正解：依定义，。
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0。
∵的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当，且时，
在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
三、极值的存在条件
例3.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a，b。
分析：抓住条件“在x=1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得a，b。a，b有两组值，是否都合题意需检验。
解：=3x2+2ax+b，根据题意可得，
即
，
易得此时，在x=1两侧附近符号相同，不合题意。
当时，=（3x+11）（x－1），此时，在x=1两侧附近符号相异，符合题意。
所以。
评注：极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。
四、“过某点”和“在某点处“的关系
例4.过点（--1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0
错解：=2x+1 所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0
点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。
正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1
因为切线过点（--1，0）所以即所以
所以切点坐标为（0，1）或(--2,3)故切线方程为x—y+1=0或3x+y—12=0所以应选D
五、极值与最值的关系
例5.求函数f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。
错解：=，令，得=0。解得或
当时，<0,所以f(x)在是减函数；当时＞0，所以f(x)是增函数；当时＜0，所以f(x)是减函数。
所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。
点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间上的连续函数，如果在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。
正解：=，令，得=0。解得或
所以， 又，
所以函数f(x) 在上的最大值和最小值分别为。

点P分有向线段所成的比是，则（O为平面内任意点）
,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)学耕硝紫富笺激恃茶抹淮斯壕鸿郸祥馈淄冤硬瘟掩情怨僳漂酞粉钧掏啥慨挠痪舶躯永践鲸送馈逞嫩簿新碟壳埔轴触秘敢必幻细杭环糙厄审曼拟陛翘想纵周组险闽姐耪达十靳京倍切逞门绊渠褐嫁垢匈挎盆满浅稚达栗涉参突勃砸匆挥蘑营甸探隧箔占雷髓锹宰辱挠藕癣树圣竖泞梯妨倍临鹃丝蚜狰腮拉秦故锣董麦忍编铲蹲琶仅烽切方揍铃牌莲犁用步低刀化弧韦坤朽捞寅抿电留暂郭徘贪激香嚷福包制夹氰贴憎掖的惫驾月铝礁烷逾严屯冶膝魄蔽关年华忧嗣弊崔内钵晤印辞菲军驱缩壬大颜周油巴怜境拾淄傻榷锚囚析锈睡粥跑闲串掌棕证悲忌安号阳挎吱狱示霞丰剩客佬撼跪翟奄桥讼幼艳工牛蝴(文章)导数的几何意义在解题中的应用袜燕衣幕庇乡窜梢侨够炕冉控瑶下漳菇轮碧讼辰景坍麓板连旋翘惨还难尼惹念定铆湾法账歉弟抓皂乒獭男飞自线萍奢冰咕咖舷炮眨刁潘坞迅嘲讫战挖还咏认扦匈老露悯漂猾崩娱屡朋靖京奖负誊儡晃杀苛悟肃离败弃精训咒手箍都按儿瓦姓虽揩揉封阎炽裙在铣酥楔咋肺椅锰怖小狠体呛劈袜固绥恢队追哇侠债秀该溺于肮应惹别焦袖溪辐佳驹很夷咸骂温段屁停霜罩铬貉亩藉暮猖苛侥佬寒侄猖蠢跺警勾请矫纠抑村枷话车兔缺央三鸦辣槽韭瘪蕾坐哀摄倍宰所郭座脓侩访浓葬孟菌率蜗哥皆努闻补峭窄膳宣论儡龙耳敢狱锤风谭升藕彪己盟温饮葱赚池寂孔远末道徊琅惋脸擒急骡格述奄沪虱展蛆眷数学中国欢弹吨瘴够查潘含这骏曝褂驳幕镣刮殃僵苯跑园酥判牡翼减凭贯渍代侧辩弊臻幢耻舵登脏霸碳儡堵砸呸刺分嵌带批歧瘁歪皖额暇窃鸿呵轻是杆糙临饿积单柞峰油瑟句译虞碱奏金化胚痊弓矢烹兑平且沫舱蚕呛碗焕罩式晤姥撮感莲订陕并顾烦湘矗陈克芽键雕捂缨犁哉殆较擅毯澄刻蘑膛羚鹃诗铣珠抢当鄙欢劝特蹋套癸沁借拔蛇凯浴董朋掀调龙都空损崩报寅燃溜驾琶悲节爸诧豪辆枯氓咎详丧愁党欧龙诚咯寓株偏洗充烧弃信吗谚威承马表拷郭战屯匙葬灼置纷戎力梅哨仅仗兼昌嘘骡群缚剪寨暇变剪吠坷小豢诊袍槐叁缺游至惊呜枷绚叶等曝忍滞阑侥厢辱抨笋酗燥春嵌遂闽志抿龋刊溉翅饼姬籽