数列经典题型总结.doc

3一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知,且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2)令求数列的前项和练习：设Sn1+2+3+n，nN*，求的最大值。二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列中,，其中（）求数列的通项公式；（)求数列的前项和;例3（07高考全国文21)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且，（）求,的通项公式;（）求数列的前n项和三、逆序相加法例4(07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1（x1, y1）、P2（x2， y2)，若，且点P的横坐标为。(I）求证：P点的纵坐标为定值,并求出这个定值；（II)若四、裂项求和法例5 求数列的前n项和.例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（)求数列的通项公式;（）设，是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m；五、分组求和法例7数列an的前n项和,数列bn满 。（）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前n项和Tn。例8求(）六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例9 求之和。解:由于 （找通项及特征) (分组求和)例10 已知数列an：的值.解: （找通项及特征） （设制分组） (裂项） (分组、裂项求和） 类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法)求解。例：已知数列满足，求.解:由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之,即所以，类型2 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法（逐商相乘法）求解.例：已知数列满足,，求。解:由条件知,分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知,，求。类型3(其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）:把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求。解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为，令,则，且。所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以。变式：递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异类型4（其中p，q均为常数，)。 (,其中p，q， r均为常数) 。解法:一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中)，得：再待定系数法解决。例:已知数列中，求。解：在两边乘以得：令，则，解之得：所以类型5递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例:已知数列前n项和.（1）求与的关系;（2)求通项公式。解：（1）由得：于是所以.(2)应用类型4(其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由。于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型6解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较,解出，从而转化为是公比为的等比数列。例：设数列：，求。解：设，将代入递推式，得（）则，又，故代入（)得说明：(1）若为的二次式,则可设；(2）本题也可由 ，（）两式相减得转化为求之。