高考数列经典题型全面解析.doc

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以
，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例:已知， ，求。
。
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且
.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则
,所以.
变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：所以

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。由，得
，且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。
把代入，得，，
，
。把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。
,。又由，于是
故
例:已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则
是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以
。
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与
消去 或与消去
进行求解。
例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公
式.
解：（1）由得：于是

所以.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））
的方法，上式两边同乘以得：由
.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
解：设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故
代入（１）得
说明：（1）若为的二次式，则可设
;(2)本题也可由
,（）两式相减得转化为
求之.

【例】、已知数列满足，，则通项公式
an=3^(n-1)+a(n-1)
--->an-a(n-1)=3^(n-1)
同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3)
……………………
……a3-a2=3^2
……a2-a1=3^1
以上的n个等式的两边相加得到
An-a1=3+3^2+……+3^(n-1)=3(1-3^n-1)/(1-3)=(3^n-1)/2