1、高中数学:递推数列经典题型全面解析类型1 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足,求。解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,类型2 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,例:已知, ,求。 。类型3 (其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中,求.解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.变式:递推式:。解法:只需构造数
2、列,消去带来的差异类型4 (其中p,q均为常数,)。 (,其中p,q, r均为常数) 。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。例:已知数列中,,,求。解:在两边乘以得:令,则,解之得:所以类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足解法二(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。解法一(待
3、定系数迭加法):数列:, ,求数列的通项公式。由,得,且。则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是。把代入,得,。把以上各式相加,得。解法二(特征根法):数列:, 的特征方程是:。,。又由,于是故例:已知数列中,,,求。解:由可转化为即或这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即又,所以。类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法:这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例:已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式.解:(1)由得:于是所以.(2)应用类型4(其中p,q均为常数,)的方法,
4、上式两边同乘以得:由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以类型7 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列:,求.解:设,将代入递推式,得()则,又,故代入()得说明:(1)若为的二次式,则可设;(2)本题也可由 ,()两式相减得转化为求之.【例】、已知数列满足,则通项公式an=3(n-1)+a(n-1) -an-a(n-1)=3(n-1) 同样a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的n个等式的两边相加得到 An-a1=3+32+3(n-1)=3(1-3n-1)/(1-3)=(3n-1)/2