数列总结经典.doc

姓名： 数列知识点梳理(一)数列的相关概念一数列的概念1数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记。2数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3数列可以看做定义域为(或其子集）的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方法数列的表示方法有:列举法、解析法(用通项公式表示）和递推法(用递推关系表示).三、 数列的分类1 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。递增数列的判断：比较f(n+1）与f（n）的大小（作差或作商)四、数列通项与前项和的关系1 2（二)等差数列的相关知识点1定义:。当d0时，递增数列，d0时，递减数列,d=0时,常数数列。2通项公式: d=，d= 是点列(n,an）所在直线的斜率。3前n项的和: 是等差数列.4等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项：2b=a+c5、等差数列的判定方法（nN*)（1）定义法： an+1-an=d是常数 (2）等差中项法:（3）通项法： (4）前n项和法:6性质：设an是等差数列，公差为d,则（1）m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别地,当时,则有（2) an,an+m，an+2m组成公差为md的等差数列。（3） Sn， S2n-Sn, S3nS2n组成公差为n2d的等差数列。(4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数）、 均是等差数列，公差分别为：(5）若等差数列、的前和分别为、，且,则 。如设与是两个等差数列，它们的前项和分 别为和，若，那么_，_（6)的最值： 法1、可求二次函数的最值；法2、求出中的正、负分界项,即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当,由可得达到最小值时的值。 例：若是等差数列，首项，则使前n项和 成立的最大正整数n是（答：4006）7知三求二， 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,8、巧设元：三数：, 四数：9、项数为偶数的等差数列，有 ，项数为奇数的等差数列，有， ，。例：项数为奇数的等差数列中,奇数项和为80,偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5;31）。10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究。(三）等比数列的相关知识点(类比等差数列）1、定义:（为常数,）或2、通项公式:=（)=3、前项和：(要注意q的讨论)（q1)4、等比中项：成等比数列,或.只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_5、等比数列的判定方法（nN*)(1)定义法: an+1/an=q是常数 (2）等比中项法:(3)通项法:（为非零常数). （4)前n项和法： 6、性质：是等比数列（1)若，则特别地，当时，则有 例：在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）； 各项均为正数的等比数列中,若，则(答：10）.（2)an，an+m，an+2m组成公比为的等比数列。（3）仍为等比数列,公比为. 例、在等比数列中，为其前n项和，若,则的值 为_（答：40）（4)若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列,则、成等比数列；公比分别为：7知三求二， 可考虑统一转化为两个基本量；或利用数列性质，8、巧设元:三数：， 四数:9、非零常数列既是等比数列，又是等差数列. 故常数数列是此数列既成等差数列又成等比数列的条件 例、设数列的前项和为(），关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若,则是等差数列;若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是10、正数列成等比，则数列成等差数列；若数列成等差，则数列成等比数列; 例、已知且,设数列满足，且,则。 (答：)11、 在等比数列中,当项数为偶数时，; 项数为奇数时， 。12.会从函数角度理解和处理数列问题.（四）、求通项1、等差、等比数列公式法2、形如 an+1an=f(n） 形式，求法：累加法3、形如an+1=anf（n)， 求法：累乘法4、形如an+1=Aan+B （AB0）, 求法:构造法 例、已知,求（答:）已知求5、 形如 (k0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法例：已知，求（答：）;已知数列满足=1，,求（答：)6、已知Sn，求an ， 求法:阶差法 即利用公式=注意:一定不要忘记对n取值的讨论！最后,还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式,从而决定能否将其合并.例、已知的前项和满足，求（答:）; 数列满足，求（答:)7、 已知 求,用作商法 例、数列中,对所有的都有，则_（)（五）数列求和的常用方法：1、公式法：(等差、等比数列直接用公式） 常用公式：1+2+3 +n =例、等比数列的前项和S2，则_(答：）;2、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,如表示二进制数，将它转换成十进制形式是,那么将二进制转换成十进制数是_(答：）2。等差数列的绝对值的和 （已知等差数列前n项和为） 当a10，d0时,若ak0，ak+10，则：S=|a1+a2|+ak+|ak+1+an|= 当a10，d0时，若ak0,ak+10，则：S=a1+|a2+ak|+ak+1+an=3、 分组求和法: 例、求数列 的前n项和4、 并项求和法 例、（答:）5、倒序相加法： 例、求证： 已知，则_6 。裂项相消求和,常见类型；;； 例、求和：（答:)；在数列中，且S，则n_(答：99)7、错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。 例、为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式。（答：,；);8、 通项转换法:先对通项进行变形，发现其内在特征,再以上求和法求和。 例、求和：（答：）（六）. 等比数列的前项和公式的常见应用题:生产部门中有增长率的总产量问题。 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：银行部门中按复利计算问题。 例如:一年中每月初到银行存元,利息为，每月利息按复利计算,则每月的元过个月后便成为元。 因此，第二年年初可存款：=.分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率。.4